Schémas numériques d'intégration temporelle

Nous présentons ici les deux schémas numériques d'intégration temporelle disponibles dans Cast3M pour résoudre les problèmes thermiques transitoires (9). Ces schémas sont disponibles dans la procédures PASAPAS via le mot clef 'PROCEDURE_THERMIQUE'.

Dans tous les cas, l'idée est discrétiser dans le temps les champs de température et de les calculer à certains instants. Nous décrirons ci-dessous les algorithmes de calcul de la température à la fin d'un pas de temps, en supposant connu les résultats au début du pas de temps. On notera ainsi

• \(t^n\) et \(t^{n+1}\)        : les instants au début et à la fin du pas

• \(\Delta t = t^{n+1} - t^n\) : le pas de temps

• \(T^n\) et \(T^{n+1}\)        : les champ de température au début (connu) et à la fin du pas (inconnu)

Le \(\theta\)-schéma

Ce schéma classique est mis en oeuvre dans la procédure TRANSNON. La discrétisation temporelle du problème (9) est la suivante :

(1)\[\frac{1}{\Delta t}\mathbfcal{C}^{\star}(T^{n+1}-T^n) + \mathbfcal{K}^{\star} \left[\theta T^{n+1} + (1-\theta)T^n\right] = Q^{\star}\]

• L'indice \(^{\star}\) siginifie que les matrices et les vecteurs sont évalués :

  • à la température \(T^{\star} = \theta T^{n+1} + (1-\theta) T^n\)

  • à l'instant \(t^{\star} = \theta t^{n+1} + (1-\theta) t^n\)

• Le paramètre \(\theta\) est le coefficient de relaxation \(0 \leq \theta \leq 1\)

Cette famille de schémas possède les propriétés suivantes, suivant la valeur de \(\theta\) :

Propriétés schéma pour quelques valeurs de \(\theta\)

\(\theta=0\)	\(\theta=\frac{1}{2}\) (Crank Nicolson)	\(\theta=1\) (par défaut)
schéma explicite	schéma implicite	schéma implicite pur
ordre 2 en espace	ordre 2 en espace	ordre 2 en espace
ordre 1 en temps	ordre 2 en temps	ordre 1 en temps
condition de stabilité \(\frac{\Delta t}{(\Delta x)^2}\leq \frac{\rho c_p}{2\lambda}\)	marginalement stable	inconditionnellement stable

Le schéma de Dupond

Ce schéma est mis en oeuvre dans la procédure DUPONT2 et est issu des travaux de [DUPONT-1974]. La discrétisation temporelle du problème (9) est la suivante :

(2)\[\frac{1}{\Delta t}\mathbfcal{C}^{\star}(T^{n+1}-T^n) + \mathbfcal{K}^{\star} \left[\left(\frac{1}{2}+a\right)T^{n+1} + \left(\frac{1}{2}-2a\right)T^n - aT^{n-1}\right] = Q^{\star}\]

• L'indice \(^{\star}\) siginifie que les matrices et les vecteurs sont évalués :

  • à la température \(T^{\star} = (1-b)T^n + b(2T^n-T^{n-1})\)

  • à l'instant \(t^{\star} = (1-b)t^n + bt^{n+1}\)

• Le paramètre \(a\) est le coefficient de relaxation \(0 \leq a \leq 1\)

• Le paramètre \(b\) est le coefficient de sous relaxation \(0 \leq b \leq 1\)

Cette famille de schémas possède les propriétés suivantes :

• Non itératif.

• Non auto démarrant, car la connaissance de \(T^0\) et \(T^1\) est nécessaire pour calculer \(T^2\) (puis les températures à tous les instants de calcul suivants). On calculera donc la température au premier instant \(T^1\) à l'aide d'un schéma à un pas de temps itératif, puis les suivantes avec le schéma de Dupont.

• Précision du second ordre en temps.

• Inconditionnellement stable.