Comportement, équilibre et déplacements

Loi de comportement

La loi de comportement relie la contrainte \(\sigma\) à la déformation \(\mathcal{D} (u)\) :

\[\sigma = \mathcal{C} \left( \mathcal{D} (u), \varepsilon^{\textrm{in}}, \upsilon, p \right)\]

\(\mathcal{D}\) étant une mesure de la déformation du domaine matériel, \(\varepsilon^{\textrm{in}}\), des déformations inélastiques, \(\upsilon\), des variables internes, propres à la loi : variables d'écrouissage, d'endommagement... et \(p\), un certain nombre de paramètres externes : température, taux d'irradiation, etc. Dans l'expression de la loi de comportement, on peut distinguer un terme reliant linéairement la contrainte au déplacement, en associant le comportement élastique linéaire de la structure à une mesure linéaire de sa déformation, communément appelée mesure en petites déformations :

(1)\[\sigma = \mathbfcal{E} : {\nabla}_s u + \sigma^{\textrm{nl}}\]

  • \(\mathbfcal{E}\) étant le tenseur d'élasticité intervenant dans la loi de Hooke ;

  • \(\nabla_s u\) le gradient symétrisé des déplacements ;

  • \(\sigma^{\textrm{nl}}\) le terme non-linéaire complémentaire.

Relation force-déplacement

En injectant l'expression (1) dans la formulation éléments finis de l'équilibre et en sortant le vecteur des déplacements nodaux \(U\) de l'intégrale, nous obtenons :

\[\begin{split}\begin{align} \underbrace{\int_{\partial \Omega^h_t} \mathbfcal{N}^T.t dS}_{F^S} + \underbrace{\int_{\partial \Omega^h_d} \mathbfcal{N}^T.(\sigma.n) dS}_{F^R} - \underbrace{\int_{\Omega^h} \nabla \mathbfcal{N}^T \sigma^{\textrm{nl}} dV}_{\mathbfcal{B}.\sigma^{\textrm{nl}}} + \underbrace{\int_{\Omega^h} \mathbfcal{N}^T.f dV}_{F^V}\\ = \underbrace{\int_{\Omega^h} \nabla \mathbfcal{N}^T.\mathbfcal{E}.\nabla \mathbfcal{N} dV}_{\mathbfcal{K}^{e}}.U \end{align}\end{split}\]

\(\mathbfcal{K}^{e}\) étant la raideur élastique et \(U\) le déplacement aux noeuds du maillage. On obtient, finalement :

(2)\[\mathbfcal{K}^{e}.U = F^S + F^R + F^V - \mathbfcal{B}.\sigma^{\textrm{nl}}\]

Remarque sur les efforts intérieurs

En faisant passer le terme de gauche de cette dernière équation à droite du signe égal, on obtient :

\[F^S + F^R + F^V - \left(\mathbfcal{K}^{e}.U + \mathbfcal{B}.\sigma^{\textrm{nl}}\right) = 0\]

À l'aide de l'équation d'équilibre, on identifie alors que :

(3)\[\mathbfcal{B}.\sigma = \mathbfcal{K}^{e}.U + \mathbfcal{B}.\sigma^{\textrm{nl}}\]

soit l'équation (1) à laquelle on a appliqué l'opérateur BSIG.

Opérateurs de Cast3M associés

Dans Cast3M, les différents termes ci-dessus peuvent être obtenus avec les opérateurs suivants :

  • \(\mathbfcal{K}^{e}\)   : RIGI (rigidité) ;

  • \(\sigma\)      : COMP (comportement) ;

  • \(\nabla_s u\) : EPSI (epsilon) correspondant aux déformations linéarisées ;

  • \(\mathbfcal{E}\)       : ELAS (élasticité suivant la loi de Hooke) ;

  • \(U\)      : RESO (résoudre) en fournissant à l'opérateur la matrice de raideur \(\mathbfcal{K}^{e}\) et le terme au second membre (\(F^S+F^R+F^V-\mathbfcal{B}.\sigma^{\textrm{nl}}\)).