2. Équilibre mécanique

2.1. Équation de la statique

Soit un domaine matériel $\Omega$ soumis à une densité volumique d'efforts ${f}$, une densité surfacique d'efforts ${t}$ sur son bord $\partial\Omega_t$ et des déplacements imposés ${d}$ sur son bord $\partial\Omega_d$, avec $\partial\Omega_t\cap\partial\Omega_d = \varnothing$. Dans le cadre de la mécanique des milieux continus, on dit que le domaine matériel $\Omega$ est en équilibre lorsque le système d'équations suivant est vérifié :

(1)\[\begin{split}\left\{ \begin{array}{rcll} div\,\sigma + {f} & = & 0 & \textrm{sur $\Omega$} \\ {\sigma.n} & = & t & \textrm{sur $\partial\Omega_t$} \\ u & = & d & \textrm{sur $\partial\Omega_d$} \\ \end{array} \right.\end{split}\]

$\sigma$ et $u$ étant les champs de contrainte et de déplacement.

2.2. Formulation faible de l'équilibre

En multipliant chaque terme de la première équation du système (1) par un champ de déplacement virtuel $v$ non nul, puis en intégrant par partie sur $\Omega$, on obtient une formulation faible de l'équilibre :

(2)\[\int_{\partial\Omega_t} t v dS + \int_{\partial\Omega_d} \sigma n v dS - \int_{\Omega} \sigma \nabla v dV + \int_{\Omega} f v dV = 0\]

où l'on a remplacé le produit $\sigma.n$ par la densité surfacique d'efforts $t$ sur $\partial\Omega_t$ et avec $\nabla v$, le gradient de $v$.

2.3. Discrétisation par éléments finis

On réalise un maillage $\Omega^h$ du domaine $\Omega$. Sur ce maillage, le champ de déplacement $v$ est discrétisé sur la base des fonctions d'interpolation $<N_i>$ associées aux éléments du maillage :

\[v^h(x) = \sum_i v_i N_i(x)\]

$v_i$ ayant la valeur du déplacement $v$ au point $i$ du maillage.

2.4. Formulation élément finis de l'équilibre

En injectant cette discrétisation dans la formulation faible de l'équilibre (2), nous obtenons :

(3)\[\int_{\partial\Omega^h_t} t v_i N_i dS + \int_{\partial \Omega^h_d} \sigma.n v_i N_i dS - \int_{\Omega^h} \sigma v_i \nabla N_i dV + \int_{\Omega^h} f v_i N_i dV = 0\]

Ceci devant être vérifié pout tout $v$, nous vérifions, à chaque nœud $i$ du maillage, l'égalité suivante :

\[\underbrace{\int_{\partial\Omega^h_t} t N dS}_{F^S} + \underbrace{\int_{\partial \Omega^h_d} \sigma.n N dS}_{F^R} + \underbrace{\int_{\Omega^h} f N dV}_{F^V} - \underbrace{\int_{\Omega^h} \sigma \nabla N dV}_{B.\sigma} = 0\]

où l'on a négligé l'indice $i$. Cette dernière équation fait apparaitre les forces nodales équivalentes :

$F^S$ : à la densité surfacique d'efforts $t$ ;
$F^R$ : à la densité surfacique d'efforts de réaction aux déplacements imposés $d$ ;
$F^V$ : à la densité volumique d'efforts $f$ ;
$B.\sigma$ : à la densité volumique d'efforts intérieurs.

On note que ces forces nodales équivalentes sont des quantités intégrées sur le maillage.

La formulation éléments finis de l'équilibre s'écrit donc :

(4)\[\underbrace{F^S + F^R + F^V}_{F^{ext}} \underbrace{- B.\sigma}_{F^{int}} = 0\]

$F^{ext}$ représentant les efforts extérieurs appliqués au domaine matériel $\Omega$ et $F^{int}$, les efforts intérieurs.

2.5. Résidu

Les termes de l'équation d'équilibre (4) forment le résidu $R$ :

\[R = F^S + F^R + F^V - B.\sigma\]

Numériquement, l'équilibre n'est satisfait que de façon approchée. Ainsi, on peut considérer qu'il est atteint lorsqu'une norme de ce résidu devient négligeable devant une valeur de référence des efforts mis en jeu dans le problème considéré :

\[|R| < \zeta\, F^{ref}\]

La valeur de $\zeta$ est fournie par l'utilisateur : c'est la précision du calcul.

La valeur de $F^{ref}$ peut être une norme des efforts extérieurs $F^{ext}$. Dans certains cas (dilatation libre, décharge...) ces derniers peuvent être nuls à l'équilibre. L'utilisateur doit alors également préciser la valeur de $F^{ref}$ ou fournir une tolérance sur les efforts : $F^{tol} = \zeta\, F^{ref}$.

Si le problème fait intervenir des coques, poutres, tuyaux... il peut aussi s'avérer nécessaire de fournir une tolérance sur les moments $M^{tol}$.

2.6. Opérateurs de Cast3M associés

Les termes de l'équation (4) peuvent être obtenus à l'aide des opérateurs suivants :

$F^S$ : PRES (pression), FORC (force ponctuelle), FSUR (force surfacique), ... selon le cas ;
$F^R$ : REAC (réaction) ;
$F^V$ : CNEQ (Charge Nodale EQuivalente) ;
$B.\sigma$ : BSIG ;
$F^{tol}$, $M^{tol}$ : voir entrées de la procédure PASAPAS.