4. Conditions sur les déplacements

4.1. Relations linéaires entre inconnues de déplacement

En pratique, on a besoin de généraliser la condition de déplacement imposé à des relations linéaires entre inconnues de déplacement, par exemple, pour prescrire des conditions de symétrie. Ainsi, les conditions sur les déplacements s'écrivent de façon plus générale :

\[A.U = d\]

avec \(A\), la matrice des relations linaires entre inconnues de déplacement, et \(d\), les valeurs imposées. Dans le cas d'une condition de déplacement imposé usuelle, \(A\) est la matrice identité.

4.2. Traitement des conditions sur les déplacements

Il existe principalement trois méthodes pour résoudre un système linéaire avec des conditions imposées sur ses inconnues primales :

  • la méthode d'élimination ;

  • la méthode de pénalisation ;

  • la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

Dans Cast3M, on utilise formellement la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

4.3. Méthode des multiplicateurs de Lagrange

Pour un système linéaire d'inconnue \(U\) à résoudre tel que :

\[K^{e}.U=F^S + F^V - B.\sigma^{nl}\]

l'ajout de \(n\) conditions sur le champ solution équivaut à introduire \(n\) inconnues supplémentaires \(\lambda\), appelées multiplicateurs de Lagrange, telles que :

(1)\[K^{e}.U + A^T.\lambda = F^S + F^V - B.\sigma^{nl} \qquad \textrm{avec} \qquad A.U=d\]

La précédente relation force-déplacement permet d'identifier que le terme \(A^T.\lambda\) est égal, au signe près, aux efforts de réaction aux déplacements imposés \(F^R\). La matrice \(A\) étant sans dimension, les multiplicateurs de Lagrange sont homogènes à des efforts. On peut assembler ces deux équations sous forme matricielle :

\[\begin{split}\left( \begin{array}{cc} K^{e} & A^T \\ A & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} U \\ \lambda \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} F^S + F^V - B.\sigma^{nl} \\ d \end{array} \right)\end{split}\]

pour expliciter formellement un seul système linéaire :

\[\hat{K}.\hat{U} = \hat{F}\]

La méthode des multiplicateurs de Lagrange permet de formaliser correctement le fait d'imposer des conditions sur les inconnues primales d'un système linéaire. Elle a toutefois le défaut d'accroître la taille du système à résoudre. Par ailleurs, la matrice \(\hat{K}\) n'est pas toujours factorisable sans pivotage. Dans , on utilise la méthode des doubles multiplicateurs de Lagrange pour contourner cette difficulté. Pour plus de détails sur la mise en œuvre de cette méthode, on peut consulter l'article de P. Verpeaux et T. Charras.

4.4. Opérateurs de Cast3M associés

Dans Cast3M, ce type de conditions est réalisé grâce aux opérateurs suivants :

  • \(A\)          : BLOQ (bloquer) et RELAtion (relation) ;

  • \(d\)           : DEPI (DEPlacement Imposé) ;

  • \(\hat{K}\) et \(\hat{F}\) : ET, pour assembler \(K^{e}\) et \(A\) ainsi que les second membres (\(F^S+F^V-B.\sigma^{nl}\)) et \(d\) ;

  • \(\hat{U}\)          : RESO (résoudre) avec, comme arguments, \(\hat{K}\) et \(\hat{F}\).