.. _sec:ther_trans_schemas: Schémas numériques d'intégration temporelle =========================================== Nous présentons ici les deux schémas numériques d'intégration temporelle disponibles dans Cast3M pour résoudre les problèmes thermiques transitoires :eq:`eq:ther_ef_1`. Ces schémas sont disponibles dans la procédures `PASAPAS `_ via le mot clef ``'PROCEDURE_THERMIQUE'``. Dans tous les cas, l'idée est discrétiser dans le temps les champs de température et de les calculer à certains instants. Nous décrirons ci-dessous les algorithmes de calcul de la température à la fin d'un pas de temps, en supposant connu les résultats au début du pas de temps. On notera ainsi - :math:`t^n` et :math:`t^{n+1}`        : les instants au début et à la fin du pas - :math:`\Delta t = t^{n+1} - t^n` : le pas de temps - :math:`T^n` et :math:`T^{n+1}`        : les champ de température au début (connu) et à la fin du pas (inconnu) .. _sec:ther_schema_theta: Le :math:`\theta`-schéma ------------------------ Ce schéma classique est mis en oeuvre dans la procédure `TRANSNON `_. La discrétisation temporelle du problème :eq:`eq:ther_ef_1` est la suivante : .. math:: :name: eq:ther_theta_1 \frac{1}{\Delta t}\mathbfcal{C}^{\star}(T^{n+1}-T^n) + \mathbfcal{K}^{\star} \left[\theta T^{n+1} + (1-\theta)T^n\right] = Q^{\star} - L'indice :math:`^{\star}` siginifie que les matrices et les vecteurs sont évalués : - à la température :math:`T^{\star} = \theta T^{n+1} + (1-\theta) T^n` - à l'instant :math:`t^{\star} = \theta t^{n+1} + (1-\theta) t^n` - Le paramètre :math:`\theta` est le **coefficient de relaxation** :math:`0 \leq \theta \leq 1` Cette famille de schémas possède les propriétés suivantes, suivant la valeur de :math:`\theta` : .. table:: Propriétés schéma pour quelques valeurs de :math:`\theta` :align: center +--------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------+-------------------------------+ | :math:`\theta=0` | :math:`\theta=\frac{1}{2}` (Crank Nicolson) | :math:`\theta=1` (par défaut) | +============================================================================================+=============================================+===============================+ | schéma explicite | schéma implicite | schéma implicite pur | +--------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------+-------------------------------+ | ordre 2 en espace | ordre 2 en espace | ordre 2 en espace | +--------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------+-------------------------------+ | ordre 1 en temps | ordre 2 en temps | ordre 1 en temps | +--------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------+-------------------------------+ | condition de stabilité | marginalement stable | inconditionnellement stable | + + | | | :math:`\frac{\Delta t}{(\Delta x)^2}\leq \frac{\rho c_p}{2\lambda}` | | | +--------------------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------+-------------------------------+ .. _sec:ther_schema_dupont: Le schéma de Dupond ------------------- Ce schéma est mis en oeuvre dans la procédure `DUPONT2 `_ et est issu des travaux de [DUPONT-1974]_. La discrétisation temporelle du problème :eq:`eq:ther_ef_1` est la suivante : .. math:: :name: eq:ther_dupont_1 \frac{1}{\Delta t}\mathbfcal{C}^{\star}(T^{n+1}-T^n) + \mathbfcal{K}^{\star} \left[\left(\frac{1}{2}+a\right)T^{n+1} + \left(\frac{1}{2}-2a\right)T^n - aT^{n-1}\right] = Q^{\star} - L'indice :math:`^{\star}` siginifie que les matrices et les vecteurs sont évalués : - à la température :math:`T^{\star} = (1-b)T^n + b(2T^n-T^{n-1})` - à l'instant :math:`t^{\star} = (1-b)t^n + bt^{n+1}` - Le paramètre :math:`a` est le **coefficient de relaxation** :math:`0 \leq a \leq 1` - Le paramètre :math:`b` est le **coefficient de sous relaxation** :math:`0 \leq b \leq 1` Cette famille de schémas possède les propriétés suivantes : - Non itératif. - Non auto démarrant, car la connaissance de :math:`T^0` et :math:`T^1` est nécessaire pour calculer :math:`T^2` (puis les températures à tous les instants de calcul suivants). On calculera donc la température au premier instant :math:`T^1` à l'aide d'un :ref:`schéma à un pas de temps itératif `, puis les suivantes avec le schéma de Dupont. - Précision du second ordre en temps. - Inconditionnellement stable.