2. Équation de la dynamique

2.1. Équation générale du mouvement

On considère ici un système mécanique sollicité ou qui évolue dans le temps suffisamment rapidement pour que ne soient pas négligés les effets d'inertie, ni les effets visqueux. Il est donc régit par la forme faible stipulant que \(\forall \vec{v}\) cinématiquement admissible à 0, on doit trouver \(\vec{u}\) et \(\sigma\) tels que soit vérifié à chaque instant :

(1)\[\begin{split}\int_{\Omega} \rho \ddot{\vec{u}}(t) \vec{v}(t) + f^\text{visq}(\vec{u},\dot{\vec{u}}) \vec{v}(t) + \sigma(t) : \epsilon(\vec{v}(t)) d\Omega \\ \qquad = \int_{d\Omega} f^\text{ext}(t)\vec{v}(t) + f^\text{nl}(\vec{u},\dot{\vec{u}}) \vec{v}(t) d\Gamma\end{split}\]

La méthode des éléments finis amène à discrétiser le déplacement (ainsi que la vitesse et l'accélération) sous la forme :

(2)\[\vec{u}(x,t) = \begin{bmatrix} \vec{e}_1 \, \vec{e}_2 \, \vec{e}_3 \end{bmatrix} \, \begin{bmatrix} \mathcal{N}(x) \end{bmatrix} \, u(t)\]

La combinaisons des deux équations précédentes conduit à l'équation d'équilibre dynamique discrétisée :

(3)\[\mathcal{M} \ddot{u}(t) + \mathcal{F}^\text{visq}(\dot{u},u) + \mathcal{F}^\text{int}(\sigma) = \mathcal{F}^\text{ext}(t) + \mathcal{F}^\text{nl}(u,\dot{u})\]

où l'on a distingué au second membre le chargement extérieur et les efforts non-linéaires liées au contact frottant.

Les non-linéarités de type comportement ou grands déplacements sont quant à elles complètement intégrées dans les efforts internes. Leur traitement n'est pas propre à la dynamique et nous n'en discuterons pas plus ici.

2.2. Équation du mouvement linéarisée pour les problèmes vibratoires

La plupart des problèmes dynamiques vibratoires se caractérise par de petits mouvements autour d'une position d'équilibre stationnaire. On décompose ainsi la solution dynamique en la somme d'une contribution stationnaire et vibratoire :

(4)\[\begin{split}u^\text{tot}(t) &= u^0 + u(t) \\ \sigma^\text{tot}(t) &= \sigma^0 + u(t) \\\end{split}\]

Lorsque l'amplitude des vibrations est suffisamment petite pour être considérée comme une petite perturbation, on peut linéariser les termes liés aux efforts internes et visqueux :

(5)\[\mathcal{M} \ddot{u}(t) + \mathcal{C} \dot{u}(t) + \mathcal{K} u(t) = \mathcal{F}^\text{ext}(t) + \mathcal{F}^\text{nl}(u,\dot{u})\]

Si les contraintes de l'équilibre autour duquel le problème vibratoire est calculé sont non négligeables, alors la linéarisation des efforts internes conduit à la prise en compte d'un terme de pré-contraintes calculé avec l'opérateur KSIG (notice de KSIG) en plus du terme lié à l'élasticité obtenu avec RIGI (notice de RIGI) : \(\mathcal{K} = \mathcal{K}^\text{RIGI} + \mathcal{K}^\text{KSIG}(\sigma^0)\). Le cas-test vibr13 est un exemple de calcul des modes propres d'une poutre précontrainte axialement.

De la même façon, la linéarisation d'une force de pression suiveuse conduit à l'ajout des termes KSIG et KP (notice de KP) (voir l'exemple vibr8).

Cette équation n'est pas complètement linéarisée à cause de la présence du terme d'efforts non-linéaires au second membre qu'on a volontairement conservé. Mais c'est cette forme qui est intéressante pour la plupart des études vibratoires.

À cette équation, il convient d'ajouter les conditions aux limites qui s'expriment sous la forme d'une relation linéaire :

(6)\[\mathcal{L} u(t) = u^\text{imp}(t)\]

et des conditions initiales généralement exprimée en (déplacement,vitesse) à l'instant \(t=0\) :

(7)\[\begin{split}u(t=0) &= u_0 \\ \dot{u}(t=0) &= \dot{u}_0\end{split}\]

On va voir par la suite qu'on ne cherche pas toujours à intégrer d'emblée cette équation différentielle. En effet, une bonne connaissance du comportement dynamique du système passe souvent par l'étude de ses modes, sa réponse à une excitation harmonique ou aléatoire caractérisée par un spectre, sa stabilité.