5. Résolution de l'équilibre
5.1. Méthode
Dans le cas de comportements mécaniques non-linéaires, la résolution de l'équation d'équilibre est réalisée de façon itérative, suivant une méthode de point fixe, jusqu'à ce que le résidu soit suffisamment faible selon un critère donné.
Les lois de comportement des matériaux étant généralement formulées en incrément (\(\dot{\varepsilon}^p=\varphi(\dot{\sigma},p)\), etc.), il est plus pratique de formuler également l'équation d'équilibre en incrément.
Pour cela, considérons des conditions initiales définies par (\(U_0\), \(\lambda_0\), \(\sigma_0\)), éventuellement hors équilibre, et cherchons une solution (\(U_1,\lambda_1,\sigma_1\)) qui équilibre le chargement défini par les efforts et déplacements imposés \(F^S_1\), \(F^V_1\) et \(d_1\). Le passage de l'indice 0 à l'indice 1 représente un pas de calcul.
5.2. Incréments de déplacement
On décompose le champ de déplacement de la façon suivante :
avec :
\(U_0\) : le déplacement en début de pas ;
\(U_1^i\) : le déplacement courant ;
\(\Delta U_1^i\) : l'incrément courant de déplacement ;
\(\delta \Delta U_1^{i+1}\) : la correction de l'incrément courant de déplacement.
On montre facilement que :
5.3. Formulation incrémentale des conditions sur les déplacements
La formulation de conditions sur les déplacements :
s'écrit aussi de façon incrémentale :
le membre de droite représentant un résidu sur le déplacement imposé.
5.4. Formulation incrémentale de l'équilibre
Après \(i\) itérations, on cherche un champ solution (\(U_1^{i+1},\lambda_1^{i+1},\sigma_1^{i+1}\)) qui satisfait l'équation d'équilibre :
\(\sigma_1^{nl,i}\) étant la partie non-linéaire des contraintes \(\sigma_1^{i}\) obtenues à l'itération précédente. Injectons l'expression incrémentale (1) de \(U_1^{i+1}\) dans celle-ci :
Le terme \(B.\sigma_1^i\) est identifié d'après l'équation précédente. Au membre de droite, on reconnait l'expression du résidu, d'où, finalement :
Dans ces développements, nous n'avons pas précisé la dépendance des opérateurs \(K^{e}\), \(B\) ou \(A\) à la solution, ni détaillé ou commenté celle du chargement \(F^S_1\), \(F^V_1\) ou \(F^R_1\).
On peut assembler les équations (2) et (3) pour former le système suivant :
En mettant l'équation d'équilibre sous cette forme, la ligne supérieure du second membre n'est plus égale au résidu, qui doit alors être post-traité. La décomposition du multiplicateur de Lagrange en incréments permettrait de préserver l'expression du résidu au second membre mais ce sont les forces de réaction qui devraient alors faire l'objet d'un post-traitement :
5.5. Convergence
Comme évoqué au paragraphe sur le résidu, la résolution itérative de l'équilibre est menée jusqu'à ce que le résidu soit négligeable devant une valeur de référence des efforts mis en jeu dans le problème traité selon une norme donnée :
Concernant la norme \(|.|\), il est classique d'utiliser la norme infinie, à savoir le maximum en valeur absolue de toutes les composantes du résidu. Concernant la valeur de référence \(F^{ref}\), on peut utiliser la même norme appliquée aux efforts extérieurs. Enfin, \(\zeta\) est la précision, fixée par l'utilisateur.
5.6. Méthode de minimisation du résidu
La résolution itérative de l'équation (4) est appelée méthode de minimisation du résidu. On présente, ci-dessous, un premier algorithme de résolution de l'équilibre basé sur cette méthode. Les notations adoptées ne précisent pas les indices de boucle.
5.6.1. Algorithme de minimisation du résidu
Initialisation de la solution
\(\begin{array}{lcl} (U_1,\lambda_1) & = & (U_0,\lambda_0) \\ (\sigma_1, \varepsilon_1^{in},\upsilon_1) & = & (\sigma_0, \varepsilon_0^{in},\upsilon_0) \\ F_1^R & = & -A^T.\lambda_1 \\ F^{ref} & = & |F_1^S + F_1^V + F_1^R| \\ \end{array}\)
Tant que \(|R_1| \geq \zeta F^{ref}\) :
Fin
L'étude de la convergence de cet algorithme n'est pas l'objet de ce chapitre. On peut toutefois noter qu'à convergence, la solution \((U_1,\lambda_1,\sigma_1)\) obtenue satisfait l'équilibre des efforts sur le maillage \(\Omega^h\) à \(\zeta\) près, pour un chargement \(F_1^S\), \(F_1^V\) et \(d_1\), des paramètres externes \(p_1\), une raideur \(K^{e}\) et des opérateurs \(A\) et \(B\) fixés.
L'opération d'intégration du comportement assure que le résultat \((\sigma_1,\varepsilon_1^{in}, \upsilon_1)\) satisafait les relations de comportement pour une déformation totale \(\varepsilon_1\) mais, généralement, que de manière approchée. Dans ce cas, il est souhaitable que la précision adoptée pour intégrer le comportement soit meilleure que celle utilisée pour vérifier l'équilibre des efforts (\(\zeta\)) afin d'assurer la stabilité de l'algorithme présenté.
Par ailleurs, il faut également remarquer que, même si l'équilibre des efforts est atteint, rien ne garantit la stabilisation des déformations inélastiques ou des paramètres internes de la loi de comportement d'un itéré sur l'autre de l'algorithme, par exemple que : \(|\varepsilon_1^{in,i+1} - \varepsilon_1^{in,i}| < \zeta\). Dans le cas de calculs de fluage, où l'écoulement viscoplastique se produit à effort constant, l'équilibre des efforts peut être atteint sans que le matériau ait terminé de s'écouler. L'ajout d'un critère supplémentaire, vérifiant la stabilisation de la déformation inélastique, est alors indispensable pour garantir la convergence de cet algorithme vers la solution au problème posé.
Enfin, lorsqu'on adopte un point vue Lagrangien, on identifie les points du maillage à ceux du milieu matériel que l'on modélise. Ainsi, la géométrie du maillage évolue au cours du déplacement, de même que les grandeurs intégrées sur ce dernier, notamment \(F_1^S\), \(F_1^V\), \(K^{e}\), \(A\) et \(B\).
L'équilibre statique devant être vérifié dans la configuration du déplacement solution, il conviendrait donc de modifier cet algorithme en mettant à jour les grandeurs associées au maillage au cours des itérations pour garantir sa convergence vers une solution équilibée dans la configuration déformée. Dans ce cas, on dit qu'on réalise le calcul en grands déplacements. Lorsque l'on identifie les différentes configurations du calcul à la configuration de départ, non déformée, on dit qu'on réalise le calcul en petits déplacements.
5.7. Opérateurs de Cast3M associés
La méthode de minimisation du résidu est notamment mis en œuvre dans la procédure PASAPAS.