3. Comportement, équilibre et déplacements

3.1. Loi de comportement

La loi de comportement relie la contrainte \(\sigma\) à la déformation \(\mathcal{D} (u)\) :

\[\sigma = \mathcal{C} \left( \mathcal{D} (u), \varepsilon^{in}, \upsilon, p \right)\]

\(\mathcal{D}\) étant une mesure de la déformation du domaine matériel, \(\varepsilon^{in}\), des déformations inélastiques, \(\upsilon\), des variables internes, propres à la loi : variables d'écrouissage, d'endommagement... et \(p\), un certain nombre de paramètres externes : température, taux d'irradiation, etc. Dans l'expression de la loi de comportement, on peut distinguer un terme reliant linéairement la contrainte au déplacement, en associant le comportement élastique linéaire de la structure à une mesure linéaire de sa déformation, communément appelée mesure en petites déformations :

(1)\[\sigma = \mathcal{E} : {\nabla}_s u + \sigma^{nl}\]

\(\mathcal{E}\) étant le tenseur d'élasticité intervenant dans la loi de Hooke,
\(\nabla_s u\) le gradient symétrisé des déplacements,
\(\sigma^{nl}\) le terme non-linéaire complémentaire.

3.2. Relation force-déplacement

En injectant l'expression (1) dans la formulation éléments finis de l'équilibre, nous obtenons :

\[\int_{\partial \Omega^h } t v_i N_i dS + \int_{\partial \Omega^h_d} t_i v_i dS - \int_{\Omega^h} u_j \nabla N_j \mathcal{E} \nabla N_i v_i dV - \int_{\Omega^h} \sigma^{nl} v_i \nabla N_i dV + \int_{\Omega^h} f v_i N_i dV = 0\]

Ceci devant être vérifié quel que soit \(v\), nous pouvons simplifier par \(v_i\) pour obtenir :

\[\underbrace{\int_{\partial \Omega^h } t N dS}_{F^S} + \underbrace{\int_{\partial \Omega^h_d} t N dS}_{F^R} + \underbrace{\int_{\Omega^h} f N dV}_{F^V} - \underbrace{\int_{\Omega^h} \sigma^{nl} \nabla N dV}_{B.\sigma^{nl}} = \underbrace{\int_{\Omega^h} u_j \nabla N_j \mathcal{E} \nabla N_i dV}_{K^{e}.U}\]

\(K^{e}\) étant la raideur élastique et \(U\), le déplacement aux noeuds du maillage. On obtient, finalement :

(2)\[K^{e}.U = F^S + F^R + F^V - B.\sigma^{nl}\]

3.3. Remarque sur les efforts intérieurs

En faisant passer le terme de gauche de cette dernière équation à droite du signe égal, on obtient :

\[F^S + F^R + F^V - \left(K^{e}.U + B.\sigma^{nl}\right) = 0\]

À l'aide de l'équation d'équilibre, on identifie alors que :

(3)\[B.\sigma = K^{e}.U + B.\sigma^{nl}\]

soit l'équation (1) à laquelle on a appliqué l'opérateur BSIG.

3.4. Opérateurs de Cast3M associés

Dans Cast3M, les différents termes ci-dessus peuvent être obtenus avec les opérateurs suivants :

\(K^{e}\) : RIGI (rigidité) ;
\(\sigma\) : COMP (comportement) ;
\(\nabla_s u\) : EPSI (epsilon), correspondant aux déformations ;
\(\mathcal{E}\) : ELAS (élasticité suivant la loi de Hooke) ;
\(U\) : RESO (résoudre), en fournissant à l'opérateur la matrice de raideur \(K^{e}\) et le second membre (\(F^S+F^R+F^V-B.\sigma^{nl}\)) obtenu avec les opérateurs + et -.