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$$$$ PILOINDI NOTICE  GR250332  22/11/30    21:15:01     11510          
                                             DATE     22/11/30


    Procedure PILOINDI                      Voir aussi : PASAPAS, UNPAS
    ------------------  
                                                                                
    Syntaxe :
    _______

      FLOT2 = PILOINDI TAB1 CHP1 CHP2 CHP3 CHP4 FLOT1;


    Objet :
    ____________
    Cette procedure est applicable aux cas de pilotage indirect de chargement 
    mecanique, pour lesquels la correction sur les inconnues nodales peut etre 
    decomposee de maniere additive:

             d^(t) = d^(t-1) + dd^(i)                                      (1)
            dd^(i) = dd^(i-1) + dI^(i) + [deta^(i)*dII^(i)]                (2)
            dI^(i) = [K^(i-1)]^-1 *res^(i-1)                               (3)
           dII^(i) = [K^(i-1)]^-1 *dch                                     (4)
         P(dd^(i)) = tau^(t)                                               (5)

    avec:

    d^(t-1)   : deplacement au pas de temps (t-1);
    dd^(i)    : increment de deplacements sur le pas a l'iteration (i);
    dch       : direction du chargement impose (donnee d'entree de l'analyse);
    res^(i-1) : desequilibre entre forces internes et externes ;
    K^(i-1)   : matrice de rigidite du systeme ;
    deta^(i)  : parametre de pilotage sur le pas ;
    P(dd^(i)) : equation de pilotage indirect ;
    tau^(t)   : seuil que l'equation de pilotage doit respecter sur le pas.

    L'objectif de la procedure PILOINDI est de calculer la valeur deta^(i) (de
    type FLOTTANT). Ensuite, cette valeur est transmise a UNPAS afin de 
    calculer la correction dd^(i). Par defaut, l'equation de pilotage porte 
    sur le maximum de la deformation totale equivalente (methode CMSI). Poutant,
    la procedure PILOINDI peut etre surchargee par l'utilisateur qui souhaite 
    definir sa propre equation de pilotage. 


    Commentaire :
    _____________
    
    TAB1  : Table courante de pasapas (type TABLE).
    CHP1  : Deplacement accumule jusqu'au debut du pas de temps (type CHPOINT),
            ce qui correspond a d^(t-1) dans l'equation (1).
    CHP2  : Deplacement accumule dans le pas de temps courant (type CHPOINT),
            ce qui correspond a dd^(i-1) dans l'equation (2).
    CHP3  : Partie de la correction correspondant a dI^(i)  (type CHPOINT) 
            dans l'equation (3).
    CHP4  : Partie de la correction correspondant a dII^(i) (type CHPOINT) 
            dans l'equation (4).
    FLOT1 : Valeur limite que le critere de pilotage doit respecter dans le 
            pas de temps courant (type FLOTTANT), ce qui correspond a tau^(t)
            dans l'equation (5).
    FLOT2 : Valeur (type FLOTTANT) calcule par PILOINDI, qui correspond a
            deta^(i) dans l'equation (2).


    Remarque :
    _____________

    Les aspects theoriques et les formulations sous-jacentes sont disponibles 
    dans les references [1], [2] et [3].



    Exemples d'application en pilotage indirect de chargement:
    __________

    pilotage_indirect_1.dgibi
    pilotage_indirect_1_cndi.dgibi
    pilotage_indirect_1_cmep.dgibi
    pilotage_indirect_2.dgibi

    References :
    _____________

    [1] H. Oliveira, G. Rastiello, A. Millard, I. Bitar, B. Richard. 
    Implementation of path-following solvers in the finite element toolbox 
    Cast3M: formulations, algorithms and applications. Volume 161, 2021,
        103055, ISSN 0965-9978,
        https://doi.org/10.1016/j.advengsoft.2021.103055.

    [2] G. Rastiello, F. Riccard,, B. Richard. Discontinuity-scale
    path-following methods for the embedded discontinuity modeling of
    failure in solids. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.
    Volume 349, 2019, Pages 431-457, ISSN 0045-7825,
    https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.02.030.
        
        [3] G. Rastiello, H.L. Oliveira, A. Millard. Path-following
        methods for unstable structural responses induced by strain softening:
        a critical review. Comptes Rendus. Mécanique, Tome 350 (2022),
        pp. 205-236.
        doi : 10.5802/crmeca.112.

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