Recherche d'une solution stationnaire

Lorsqu'il existe une solution stationnaire à un problème transitoire et que seule cette solution nous intéresse, on peut chercher à discrétiser directement les équations écrites en régime permanent ou considérer le problème transitoire et itérer en temps jusqu'à l'obtention de l'état stationnaire.

Méthode stationnaire

L'algorithme le plus naturel pour calculer la solution stationnaire d'un problème transitoire consiste à discrétiser le problème permanent.

La discrétisation des équations conduit à un système matriciel de la forme $Ax = b$. Si le problème traité est linéaire, la matrice $A$ est à coefficients constants. Il suffit de l'inverser après avoir imposé les conditions aux limites pour obtenir la solution stationnaire.

Dans le cas où le problème est non linéaire, la matrice n'est plus à coefficients constants. Ceux-ci dépendent de la solution :

$$A(x)x = b.$$

Pour l'équation de la chaleur, le problème est non linéaire lorsque l'une des propriétés matérielles dépend de la température. Une méthode de Picard -- de Newton, de point fixe, etc. -- est alors utilisée afin de linéariser la forme matricielle obtenue à l'issue de la discrétisation :

• Initialiser $x_0$
• Pour $k>0$
  • Calculer $\delta x = \vert\vert x_{k+1} - x_{k} \vert\vert$
  • Tant que $\delta x \le \epsilon$
    • Résoudre $A(x_k) x_{k+1} = b(x_k)$

La convergence de la méthode vers la solution physique est souvent problématique. Elle dépend fortement du choix du premier itéré $x_0$ et du conditionnement de la matrice. Plus $x_0$ est proche de la solution cherchée plus on a de chances de converger. Dans de nombreux cas, une initialisation proche de la solution cherchée est impossible ce qui conduit à la divergence de la méthode. C'est pourquoi, dans le cas de problèmes non-linéaires, on recherche l'état stationnaire en tant que limite asymptotique du problème instationnaire. En introduisant le temps, on modifie la nature mathématique du problème ce qui permet dans certains cas d'avoir un problème mieux posé ; en jouant sur la valeur du pas de temps le conditionnement peut être amélioré et la dominance de la diagonale renforcée.

Méthode instationnaire

Supposons la solution connue au temps $t_n = n \Delta t$. On cherche à évaluer la solution de l'équation de la chaleur au temps $t_{n+1} = (n+1) \Delta t$. Suivant le temps auquel on évalue le Laplacien de température, on obtient un schéma explicite en temps ou un schéma implicite en temps. Nous présentons dans cette partie ces deux schémas en utilisant une discrétisation spatiale et temporelle par différences finies.

Schéma explicite. Dans le cas de l'équation de la chaleur monodimensionnelle, on obtient le schéma explicite en exprimant le Laplacien en début de pas de temps (au temps $t_n$) :

$$\frac{T_i^{n+1}-T_i^n}{\Delta t} = \alpha \ \frac{T_{i+1}^n - 2 T_i^n + T_{i-1}^n}{{\Delta x}^2}$$

où $\Delta t$ et $\Delta x$ sont respectivement les pas de temps et d'espace et $T_{i}^n$ désigne la température au point $x_i = i \Delta x$ et au temps $t_n = n \Delta t$.

L'intérêt de la méthode explicite est évident : la solution au temps $t_{n+1}$ est connue explicitement à partir de la solution au temps $t_n$ -- sans inversion d'une matrice. Le nombre d'opérations algébriques permettant cette évaluation est donc faible ce qui permet d'effectuer beaucoup de pas de temps à moindre coût.

Malheureusement, pour un maillage de pas $\Delta x$, les valeurs de pas de temps sont limitées par le critère de Fourier

$$2 \alpha \Delta t < \Delta x ^2$$

Pour un maillage fin, le pas de temps peut donc être très petit ce qui peut conduire à un nombre de pas de temps très important pour atteindre l'état stationnaire et à des temps de calcul très long.

Schéma implicite. Dans le cas de l'équation de la chaleur monodimensionnelle, on obtient le schéma implicite en exprimant le Laplacien en fin de pas de temps (au temps $t_{n+1}$) :

$$\frac{T_i^{n+1}-T_i^n}{\Delta t} = \alpha \ \frac{T_{i+1}^{n+1} - 2 T_i^{n+1} + T_{i-1}^{n+1}}{{\Delta x}^2}$$

L'intérêt du schéma implicite par rapport au schéma explicite est qu'il n'y a pas de condition limitant la valeur supérieure du pas de temps . En éléments finis, si on ne diagonalise pas la matrice masse, on peut montrer que le pas de temps doit être assez grand afin d'éviter certains problèmes de stabilité -- en particulier perte du principe du maximum :

$$2 \alpha \Delta t > \Delta x ^2 / 6.$$

Comme en général on considère de grands pas de temps au regard du temps caractéristique du phénomène étudié, cette contrainte est automatiquement vérifiée. C'est pourquoi, par abus de langage, on dit qu'il n'existe pas de contrainte sur la valeur du pas de temps en implicite.

Dans le cas d'un problème linéaire, en faisant tendre $\Delta t$ vers l'infini, on montre qu'il suffit d'un pas de temps pour obtenir l'état stationnaire.

Dans le cas où la diffusivité thermique dépend de la température, l'équation de la chaleur devient non-linéaire. La prise en compte de la non-linéarité impose un certain nombre de pas de temps avant d'atteindre la solution stationnaire. On peut linéariser le schéma en affectant à la diffusivité thermique sa valeur au début du pas de temps. Le fait de figer la conductivité thermique au pas de temps précédent, dégrade la précision de la température calculée durant le transitoire. Seule la solution stationnaire vérifie l'équation et est donc à considérer. Si on s'intéresse aussi au transitoire, à chaque pas de temps, on doit améliorer l'évaluation du flux ce qui conduit en général à utiliser une méthode de Picard.

Choix du schéma. Pour un problème linéaire la méthode stationnaire est souvent la plus efficace.

Pour un problème non-linéaire, le choix d'un schéma explicite ou implicite est empirique dans la mesure où c'est l'expérience de l'utilisateur ou, ce qui est moins scientifique, ses habitudes qui prévalent. Un schéma implicite nécessite en général moins de pas de temps pour atteindre l'état stationnaire qu'un schéma explicite -- le pas de temps de ce dernier est limité par des contraintes de stabilité. Cependant, au delà d'une certaine taille de maillage, le coût d'un pas de temps implicite devient plus important que le coût d'un pas de temps explicite. La stratégie à adopter est donc à adapter au cas traité.

Dans tous les cas, il ne faut pas perdre de vue que la résolution d'un problème linéaire sert en général d'étape préliminaire au traitement d'un problème non linéaire dans lequel on a figé toutes les non-linéarités -- en négligeant la dépendance des paramètres physiques à la température par exemple. Il faut donc faire attention à ne pas trop spécialiser le traitement numérique à un type de problème au risque de devoir tout refaire le jour où on abordera le vrai problème.