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L'étude de la diffusion d'une variable scalaire permet de présenter les méthodes numériques employées en mécanique des fluides et d'en cerner certaines limites.
Le problème modèle associé aux transferts diffusifs est l'équation de la chaleur. On s'intéressera dans ce TP à la solution stationnaire de cette équation. Deux méthodes permettent de résoudre ce problème :
Nous préciserons les conditions d'utilisation de chacune de ces techniques.
Afin de mener cette étude, deux solutions particulières de l'équation de la chaleur sont exhibées :
La solution bilinéaire permettra d'apprécier l'erreur d'approximation par comparaison avec la solution calculée. Pour cela, différents maillages seront utilisés : un maillage régulier de quadrangles et un maillage régulier de triangles. L'utilisation d'un maillage irrégulier de quadrangles mettra en évidence un autre type d'erreur liée à l'utilisation de méthodes d'intégration numérique.
La solution sinusoïde amortie permettra d'estimer l'ordre de convergence du schéma. Pour cela, plusieurs calculs seront réalisés en raffinant le maillage. L'ordre du schéma sera visualisé en traçant l'évolution de l'erreur en fonction du pas de discrétisation.
Le jeu de données pour CAST3M (en langage gibiane) se trouve à la fin du TP.