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$$$$ IPOL NOTICE PASCAL 19/12/04 21:15:27 10408 DATE 19/12/04 Operateur IPOL Voir aussi : PROJGRIL VARI -------------- 1) OBJET2 = 'IPOL' OBJET1 | LREEL1 LREEL2 | ... | EVOL1 | ... | ('SPLI' ('DGAU' FLOT1) ('DDRO' FLOT2)) ; | 'TOUS'; 2) OBJET2 = 'IPOL' TABLE T ; 3) OBJET2 = 'IPOL' NUA1 OBJET3 | ('GAUSS') | ; | 'RATIO' | | 'PID' (P1) | | 'GRILL' | 4) POIN1 = 'IPOL' CHPO1 FLOT1 ; Objet : _______ L'operateur IPOL comporte 4 syntaxes permettant : 1) De creer l'OBJET2 y, obtenu par interpolation d'une fonction f en l'OBJET1 de valeur t : y=f(t) OBJET2 a le meme type et les memes caracteristiques que OBJET1. Les types possibles pour OBJET1 sont : - FLOTTANT - LISTREEL - CHPOINT - MCHAML La fonction est definie par : LREEL1 : LISTREEL des abscisses {t_i} LREEL2 : LISTREEL des ordonnees correspondantes {f_i} ou par EVOL1 : EVOLUTION scalaire elementaire Par defaut, l'interpolation lineaire est utilisee et les abscisses doivent imperativement etre rangees par ordre croissant ou decroissant. + Si on specifie le mot-cle 'SPLI', une interpolation par spline cubique est utilisee. Dans ce cas, on peut prescrire la valeur de la derivee premiere de la spline sur les bords gauche et droit de son intervalle de definition avec les mots-cles 'DGAU' et 'DDRO'. Si la derivee première n'est pas specifiee, on utilise la condition naturelle : derivee seconde nulle. Remarque : l'interpolation par spline cubique n'est pas locale, elle depend de l'ensemble des valeurs de la fonction donnee. + En presence du mot cle 'TOUS', la fonction f peut etre multi- valuee (multivoque). La suite des abscisses n'est donc pas monotone, OBJET1 est necessairement un FLOTTANT et OBJET2 est un LISTREEL contenant l'ensemble des y tel que y=f(t) 2) De calculer par interpolation un CHPOINT ou un MCHAML a partir d'une table de soustype 'RESULTAT' et d'un temps T. Le type de l'objet cree depend du contenu de la table. 3) D'interpoler une fonction de plusieurs variables definie par un NUAGE : + Pour les mots cles 'GAUSS', 'RATIO' et 'PID', il s'agit d'une fonction de n variables a p valeurs scalaires a partir d'un nuage de n+p uplets de scalaires (x,f(x)). x est de dimension n, f(x) est de dimension p. L'OBJET3 est soit un CHPOINT soit un MCHAML dont les noms des composantes correspondent aux noms de n composantes du nuage. Les composantes du champ et du nuage sont necessairement scalaires. OBJET2 est du type de OBJET3. ex: nuage de composantes 'X' 'Y' 'Z' 'T' 'F' champ argument de composantes 'X' 'Z' champ resultat de composantes 'Y' 'T' 'F' Deux methodes d'interpolations sont utilisees selon l'option : -- Avec les mots cles 'GAUSS' et 'RATIO', la methode utilisee pour l'interpolation est celle des elements finis diffus au premier ordre. Au point dont on veut connnaitre l'image par la fonction, on calcule un hyperplan qui minimise la somme ponderee des carres des differences des valeurs sur tous les points du nuage. La ponderation est obtenue par l'image de la distance entre le point et le noeud par la fonction de ponderation gaussienne (exp(-x**2)) ou rationelle (1/(1+x)). -- Avec le mot cle 'PID', il s'agit d'une interpolation par ponderation inverse aux distances. La ponderation de chaque point du nuage est proportionnelle a (1/x**P1) ou x est la distance euclidienne au point cible (sur les composantes connue du champ argument). P1 : FLOTTANT/ENTIER parametre de puissance pour la fonction de ponderation, positif ou nul, egal a 1 par defaut L'interpolation est exacte, c'est a dire qu'elle retourne la valeur du nuage si le point cible est un point du nuage. Pour plus d'informations consultez : Shepard, Donald (1968). "A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data". Proceedings of the 1968 ACM National Conference: 517-524. https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_distance_weighting + Pour le mot cle 'GRILL', le nuage represente une fonction de n variables definie sur une grille de points. L'interpolation est multi-lineaire par morceaux et passe par les points de la grille. Le nuage NUA1 doit alors contenir 1 seul (n+1) uplet ou chaque composante abrite un seul objet LISTREEL. L'OBJET3 est soit un CHPOINT soit un MCHAML dont les noms des composantes correspondent aux nom des n premieres composantes du nuage. Le nuage doit etre definit ainsi : - Pour une grille de dimension n, le nuage doit posseder un seul n+1 uplet - Les n premieres composantes du nuage contiennent les listes, a valeurs croissantes, des coordonnes des noeuds de la grille dans chaque dimension. Ces listes peuvent etre de tailles differentes. Par exemple, une grille de dimension 3 peut contenir 4 points en X, 3 points en Y et 2 points en Z. - La derniere composante du nuage contient la liste des valeurs de la fonction sur tous les points de la grille, rangees dans l'ordre suivant : -- on note F_ijk... la valeur de la fonction pour le point de la grille situe a la i-eme position sur la dimension X, j-eme position sur la dimension Y, k-eme position sur la dimension Z, etc... -- le premier terme est F_111 -- la suite est rangee dans l'ordre des i croissants, puis j croissants, puis k croissants, etc ... -- dans le cas de l'exemple precedent, cette liste contient les 4*3*2=24 valeurs rangees ainsi : PROG F_111 F_211 F_311 F_411 F_121 F_221 F_321 F_421 F_131 F_231 F_331 F_431 F_112 F_212 F_312 F_412 F_122 F_222 F_322 F_422 F_132 F_232 F_332 F_432 ; Les variables associees a chaque dimension peuvent correspondre a n'importe quelle grandeur physique scalaire. Un exemple de mise en donnees est presente ci-apres. 4) D'interpoler un point le long d'une ligne orientee en donnant son champ d'abscisse curviligne (voir COOR). CHPO1 : objet CHPOINT, champ d'abscisse curviligne ; FLOT1 : objet FLOTTANT, abscisse du point recherche ; POIN1 : objet POINT, point interpole. Exemples : _________ Syntaxe 2 : * La table de sous-type RESULTAT doit etre initialisee par : matab = 'TABLE' RESULTAT ; * Puis on doit avoir une suite ordonnee d'indices de type FLOTTANT et * les valeurs pointees doivent etre de meme type (CHPOINT ou MCHAML) * Par exmple : matab. 1.5 = chpo1 ; matab. 3. = chpo2 ; * Et ainsi vous pouvez faire : chpo3 = 'IPOL' matab 2. ; * chpo3 est donc ici egal a l'operation : chpo3 = (CHPO1 * (2./3.)) + (CHPO2 * (1./3.)) Syntaxe 3, option 'GRILL' : On veut definir la fonction de 2 variables sur la grille suivante Y ^ | 7.6 8.1 -4.1 28.3 0. 84. 11 - O-----O----------O-----O---------O-------------O | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |1.2 |4.3 |7. |25. |-1. |-78.1 6 - O-----O----------O-----O---------O-------------O | | | | | | | | |4. |8. |15. |16. |23. |42. 3 - O-----O----------O-----O---------O-------------O | | 0 ------|-----|----------|-----|---------|-------------|-----> X 0 1 2 4 5 7 10 Le nuage peut etre ecrit ainsi : NUA1 = NUAG 'COMP' 'X' (PROG 1. 2. 4. 5. 7. 10.) 'COMP' 'Y' (PROG 3. 6. 11.) 'COMP' 'TOTO' (PROG 4. 8. 15. 16. 23. 42. 1.2 4.3 7. 25. -1. -78.1 7.6 8.1 -4.1 28.3 0. 84.) ;
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