Solutions particulières de l'équation de la chaleur

Pour les besoins de ce TP, nous avons exhibé deux solutions stationnaires particulières de l'équation de la chaleur :

$\triangleright$

une solution bilinéaire,

$\triangleright$

une sinusoïde amortie.

Le domaine considéré dans nos calculs est une plaque carrée homogène de coté 1 ( $(x,y) \in [0 ;1]^2$). Les conditions aux limites seront dans chaque cas les restrictions à la frontière de la solution à l'état stationnaire. Pour les méthodes faisant intervenir le temps, à l'instant initial, la température sera supposée uniformément nulle.

Solution bilinéaire

L'équation stationnaire de la chaleur est vérifiée pour :

$$T(x,y) = a x + b y + c x y + d$$

On prendra pour les applications numériques $a = 1$, $b = 1$, $c = 2$ et $d = 3$. Cette solution est visualisée (Fig 7). A la frontière du domaine, les conditions aux limites sont donc :

$$T(x,y) = \left\{ \begin{array}{lr} a x + d & \mbox{pour} ... ...mbox{pour} (x,y)\in {1} \times [0 ;1] \end{array} \right.$$

Sinusoïde amortie

L'équation stationnaire de la chaleur est vérifiée pour :

$$T(x,y) = a e^{- b y} \sin (b x) + d$$

On prendra pour les applications numériques $b = \pi / 2$, $a = 1$ et $d = 0.2$. Cette solution est visualisée (Fig 8). A la frontière du domaine, les conditions aux limites sont donc :

$$T(x,y) = \left\{ \begin{array}{lr} a \sin(b x) + d & \m... ...box{pour} (x,y)\in {1} \times [0 ;1] \end{array} \right.$$