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   1 : $$$$ PILOINDI NOTICE  GR250332  22/11/30    21:15:01     11510          
   2 :                                              DATE     22/11/30
   3 : 
   4 : 
   5 :   Procedure PILOINDI                      Voir aussi : PASAPAS, UNPAS
   6 :     ------------------  
   7 :                                                                                 
   8 :     Syntaxe :
   9 :     _______
  10 : 
  11 :       FLOT2 = PILOINDI TAB1 CHP1 CHP2 CHP3 CHP4 FLOT1;
  12 : 
  13 : 
  14 :     Objet :
  15 :     ____________
  16 :     Cette procedure est applicable aux cas de pilotage indirect de chargement 
  17 :     mecanique, pour lesquels la correction sur les inconnues nodales peut etre 
  18 :     decomposee de maniere additive:
  19 : 
  20 :              d^(t) = d^(t-1) + dd^(i)                                      (1)
  21 :             dd^(i) = dd^(i-1) + dI^(i) + [deta^(i)*dII^(i)]                (2)
  22 :             dI^(i) = [K^(i-1)]^-1 *res^(i-1)                               (3)
  23 :            dII^(i) = [K^(i-1)]^-1 *dch                                     (4)
  24 :          P(dd^(i)) = tau^(t)                                               (5)
  25 : 
  26 :     avec:
  27 : 
  28 :     d^(t-1)   : deplacement au pas de temps (t-1);
  29 :     dd^(i)    : increment de deplacements sur le pas a l'iteration (i);
  30 :     dch       : direction du chargement impose (donnee d'entree de l'analyse);
  31 :     res^(i-1) : desequilibre entre forces internes et externes ;
  32 :     K^(i-1)   : matrice de rigidite du systeme ;
  33 :     deta^(i)  : parametre de pilotage sur le pas ;
  34 :     P(dd^(i)) : equation de pilotage indirect ;
  35 :     tau^(t)   : seuil que l'equation de pilotage doit respecter sur le pas.
  36 : 
  37 :     L'objectif de la procedure PILOINDI est de calculer la valeur deta^(i) (de
  38 :     type FLOTTANT). Ensuite, cette valeur est transmise a UNPAS afin de 
  39 :     calculer la correction dd^(i). Par defaut, l'equation de pilotage porte 
  40 :     sur le maximum de la deformation totale equivalente (methode CMSI). Poutant,
  41 :     la procedure PILOINDI peut etre surchargee par l'utilisateur qui souhaite 
  42 :     definir sa propre equation de pilotage. 
  43 : 
  44 : 
  45 :     Commentaire :
  46 :     _____________
  47 :     
  48 :     TAB1  : Table courante de pasapas (type TABLE).
  49 :     CHP1  : Deplacement accumule jusqu'au debut du pas de temps (type CHPOINT),
  50 :             ce qui correspond a d^(t-1) dans l'equation (1).
  51 :     CHP2  : Deplacement accumule dans le pas de temps courant (type CHPOINT),
  52 :             ce qui correspond a dd^(i-1) dans l'equation (2).
  53 :     CHP3  : Partie de la correction correspondant a dI^(i)  (type CHPOINT) 
  54 :             dans l'equation (3).
  55 :     CHP4  : Partie de la correction correspondant a dII^(i) (type CHPOINT) 
  56 :             dans l'equation (4).
  57 :     FLOT1 : Valeur limite que le critere de pilotage doit respecter dans le 
  58 :             pas de temps courant (type FLOTTANT), ce qui correspond a tau^(t)
  59 :             dans l'equation (5).
  60 :     FLOT2 : Valeur (type FLOTTANT) calcule par PILOINDI, qui correspond a
  61 :             deta^(i) dans l'equation (2).
  62 : 
  63 : 
  64 :     Remarque :
  65 :     _____________
  66 : 
  67 :     Les aspects theoriques et les formulations sous-jacentes sont disponibles 
  68 :     dans les references [1], [2] et [3].
  69 : 
  70 : 
  71 : 
  72 :     Exemples d'application en pilotage indirect de chargement:
  73 :     __________
  74 : 
  75 :     pilotage_indirect_1.dgibi
  76 :     pilotage_indirect_1_cndi.dgibi
  77 :     pilotage_indirect_1_cmep.dgibi
  78 :     pilotage_indirect_2.dgibi
  79 : 
  80 :     References :
  81 :     _____________
  82 : 
  83 :     [1] H. Oliveira, G. Rastiello, A. Millard, I. Bitar, B. Richard. 
  84 :     Implementation of path-following solvers in the finite element toolbox 
  85 :     Cast3M: formulations, algorithms and applications. Volume 161, 2021,
  86 :         103055, ISSN 0965-9978,
  87 :         https://doi.org/10.1016/j.advengsoft.2021.103055.
  88 : 
  89 :     [2] G. Rastiello, F. Riccard,, B. Richard. Discontinuity-scale
  90 :     path-following methods for the embedded discontinuity modeling of
  91 :     failure in solids. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.
  92 :     Volume 349, 2019, Pages 431-457, ISSN 0045-7825,
  93 :     https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.02.030.
  94 :         
  95 :         [3] G. Rastiello, H.L. Oliveira, A. Millard. Path-following
  96 :         methods for unstable structural responses induced by strain softening:
  97 :         a critical review. Comptes Rendus. Mécanique, Tome 350 (2022),
  98 :         pp. 205-236.
  99 :         doi : 10.5802/crmeca.112.
 100 : 
 101 : $$$$ 
 102 :  
 103 :