Effet de $Gr^*$ sur l'écoulement

A partir d'un état initial où le fluide est au repos, la température uniforme et égale à la température extérieure, on applique à $t=0$ une densité uniforme de chaleur. On regarde alors pour chacun des $Gr^*$ l'évolution au cours du temps des structures d'écoulement.

$Gr^* = 4.39 \times 10^4$: Au bout d'environ une minute, la solution obtenue est stationnaire. Les lignes de courant montrent un tourbillon principal, le fluide descendant le long des parois froides du cylindre. L'évolution de la fonction de courant au cours du temps illustre la mise en place du tourbillon -- croissance régulière du maximum de la fonction de courant. Les isothermes sont plus tassées dans la partie haute du cylindre ce qui montre que malgré un nombre de $Gr^*$ modéré les forces de flottabilité ne sont pas négligeables (en conduction pure, les isothermes seraient régulièrement espacées).

$Gr^* = 2.19 \times 10^5$: On obtient à nouveau une solution stationnaire présentant comme pour le précédant $Gr^*$ un tourbillon principal. Cependant, si on regarde l'évolution durant le transitoire du point chaud, on observe qu'il se déplace le long de l'axe avant de se décaler vers l'extérieur lorsqu'il atteint les $2/3$ de la hauteur du cylindre. A l'état stationnaire, le fluide plus froid situé à la même cote que le point chaud aurait tendance à descendre. Or on n'observe qu'un seul tourbillon. C'est donc que les forces inertielles sont encore suffisantes pour s'opposer à la flottabilité en ces points. On peut s'attendre pour des $Gr^*$ plus importants à ce que cet équilibre soit rompu et donc à l'apparition d'un tourbillon secondaire.

$Gr^* = 4.39 \times 10^5$: Pour ce $Gr^*$, les forces de flottabilité prennent le pas sur les forces inertielles pour les points situés entre l'axe de révolution et le point chaud. Il apparaît donc un tourbillon secondaire. Le tourbillon principale et le tourbillon secondaire interagissent. Au cours du temps, pour un pas de temps de $\Delta t = 0.05$ ils croissent et décroissent périodiquement semble-t-il, sans accrocher un mode stable. De ce fait, le point chaud se déplace entre une position proche de l'axe et une position plus excentrée au grès de l'évolution de la taille des deux tourbillons. On n'obtient donc pas pour ce $Gr^*$ de solution stationnaire. Pour un pas de temps de $\Delta t = 0.01$ on obtient une solution stationnaire à nouveau. La solution pseudo-périodique semble donc être un artefact numérique.

Il convient de signaler que l'auteur de l'article indique que contrairement à d'autres références, il obtient pour ce Grashof une solution stable à deux tourbillons, des solutions périodiques n'apparaissant qu'aux nombres de Grashof plus élevés. Nous avons donc réalisé quelques simulations à plus haut Grashof. A nouveau, selon le pas de temps choisi, on obtient une solution stationnaire pour un petit pas de temps ; une solution pseudo-périodique au dela d'un pas de temps critique. Physiquement, tout est en place pour une bifurcation puisqu'il n'y a aucune raison pour que quelque soit le Grashof les deux vortex s'équilibrent. Il serait sans doute amusant de réaliser une étude de stabilité.