Consignes

Le cas étudié est issu d'un article de D.K. Gartling intitulé ``A finite element analysis of volumetrically heated fluids in an axisymmetric enclosure'', article paru dans Finite Elements in Fluids, vol4 en 1982.

L'enceinte contenant l'oxyde d'uranium est un cylindre fermé de hauteur $H$ et de rayon $R$. Les parois de l'enceinte sont maintenues à la température ambiante.

L'oxyde d'uranium contenu dans l'enceinte cylindrique est en solution et dégage de la chaleur compte tenu de sa radioactivité. La présence de cette source d'énergie, supposée uniforme et constante dans le temps, génère des mouvements de convection naturelle au sein du cylindre. Si à faible nombre de Grashof on obtient une solution stationnaire, on observe des structures d'écoulement beaucoup plus complexes à partir d'un certain seuil.

Après avoir adimensionné l'approximation de Boussinesq des équations de Navier-Stokes, nous vous demandons de rendre compte des structures d'écoulement pour les nombres de Grashof suivants : $4.39 \times 10^4$, $2.19 \times 10^5$ et $4.39 \times 10^5$. Pour cela, il vous faut modifier dans le jeu de données fourni le nombre de Grashof, choisir un solveur et un couple d'éléments finis en vitesse/pression (variables Gr, ICHOI et IRESO du jeu de données). En première approximation, le point fixe est inutile (ICHOI=1). Utilisez ICHOI=2 pour l'algorithme de projection, ICHOI=3 pour la résolution implicite et ICHOI=4 pour l'algorithme semi-explicite. Le cas ICHOI=5 est une autre mise en oeuvre informatique du semi-explicite donnant les mêmes résultats que ICHOI=4.

Pour l'adimensionnalisation des équations, la longueur de référence est le rayon $R$ de l'enceinte, le temps de référence est $R^2/\alpha$ et la température de référence est $QR^2/\lambda$. Peut-être serait-il bon de se poser la question suivante : En quoi ces choix sont-ils non classiques et pourquoi procède-t-on ainsi dans le cas présent ? Durant l'adimensionnalisation, vous devez normalement voir apparaître les nombres sans dimension suivants (nombres de Prandtl et de Grashof modifié) :

$$\begin{array}{l} \displaystyle Pr = \frac{\nu}{\alpha} \\ \... ...laystyle Gr^* = \frac{g \beta R^5 Q}{\nu^2 \lambda} \end{array}$$

où $\beta$ désigne le coefficient de dilatabilité thermique : $$\left. \beta = - \frac{1}{\rho_0}\frac{\partial \rho}{\partial T}\right\vert _P$$.