Consignes

Le cas étudié est issu d'un benchmark ayant fait l'objet d'une synthèse éditée par K.Morgan, J.Périaux and F.Thomasset : Analysis of laminar flow over a backward facing step, Vol 9 of Notes on Num. Fluid Mech., Vieweg, 1984.

On modélise l'écoulement laminaire incompressible stationnaire dans un canal autour d'une marche descendante. On note $h$ (resp. $H$) la hauteur du canal en amont (resp. en aval) de la marche, $l$ (resp. $D$) la longueur du canal en amont (resp. en aval) de la marche. Un profil de vitesse parabolique est imposé à l'entrée, la vitesse maximale étant notée $U_{max}$. L'écoulement se sépare au niveau de la marche et se ré-attache en aval de la marche à une abscisse à déterminer.

Figure 18: Ecoulement autour d'une marche descendante

Le cas test considéré ici correspond aux valeurs $D=18m$, $l=3m$, $H=1.5m$ et $h=1m$. Les équations de Navier-Stokes sont adimensionnées par les échelles de longueur et de vitesse $(H-h)$ et $U_{max}$ -- donc $(H-h)/U_{max}$ pour le temps -- et on a

$$\left\{ \begin{array}{l} \textrm{div} \vec{u} = 0 \\ \displ... ...u} = -\nabla P + \frac{1}{Re} \Delta\vec{u} \end{array}\right.$$

où la pression est adimensionnée par $\rho U_{max}^2$, le nombre de Reynolds $Re=U_{max}(H-h)/\nu$ étant fixé par la suite à 150.

Les conditions aux limites sont classiques pour ce type d'écoulement :

$\triangleright$

Profil parabolique de la vitesse à l'entrée (Poiseuille) ;

$\triangleright$

Contraintes normales nulles en sortie ;

$\triangleright$

Adhérence sur les parois.

Le coefficient de frottement à la paroi $C_f$ défini par

$$\frac{1}{2} Re C_f(x) = \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)_{paroi}$$

permet de localiser le point de ré-attachement puisqu'il s'annule en ce lieu.