Consignes

Le cas test de Smith et Hutton traite du transport d'un scalaire passif au sein d'un écoulement par convection et diffusion. L'évolution de la concentration de ce traceur est donné par

$$\frac{\partial c}{\partial t} + \vec{u} . \nabla c = \nu \Delta c$$

où $c$ désigne le scalaire passif transporté -- $c$ peut représenter la température, une concentration, etc. ; $\vec{u}$ la vitesse ($m/s$) ; $\nu$ la diffusivité ($m^2/s$). Le domaine $\Omega$, siège du transport, est défini par $\Omega = \{(x,y), (x,y) \in [-1,1] \times [0,1]\}$. Le champ de vitesse $\vec u$ est connu et constant dans le temps :

$$\vec u(x,y) = 2y(1-x^2) \vec I_x - 2x(1-y^2) \vec I_y$$

Le fluide pénètre donc dans le domaine par la base (du coté gauche) et sort également par la base (du coté droit). Les autres cotés sont imperméables.

L'objet du workshop était de calculer la solution stationnaire de ce problème pour un profil de concentration imposé en entrée. La comparaison porte sur le profil de concentration à la sortie du domaine.

Initialement, la concentration est identiquement nulle dans $\Omega$. Les conditions aux limites en concentration sont les suivantes :

$c(x,0) = 1 + \tanh[10(2x+1)]$ pour $x \in [-1,0]$ (entrée fluide)

$c(x,y) = 1 - \tanh 10$ sur les cotés imperméables gauche, droit et haut.

Pour la partie de la frontière par laquelle le fluide sort du domaine, on laisse agir les conditions aux limites dites naturelles : on ne fait rien. Pour le flux diffusif cela revient à imposer un flux nul. Pour le flux convectif, on bénéficie du caractère parabolique de l'équation de transport convective : indépendance du flux convectif aux conditions en aval de l'écoulement. Or, le flux diffusif en sortie du domaine de calcul est rarement nul. De ce fait on introduit souvent une erreur en laissant agir les conditions aux limites naturelles. On doit remarquer que plus la convection est dominante, plus l'erreur commise est minime et reste localisée au voisinage de la sortie. C'est pourquoi on réalise parfois des simulations sur un domaine de calcul plus étendu que celui a priori nécessaire. On espère cantonner l'erreur lié à la condition de sortie dans la zone ajoutée, les post-traitements étant réalisés uniquement dans la zone d'intérêt, en amont de la zone ajoutée.

L'imposition des conditions aux limites marque le début de la chronologie.

En choisissant comme vitesse de référence la vitesse moyenne à l'entrée ($u_{ref}=1$), comme longueur de référence la hauteur du domaine ($L_{ref}=1$), on obtient $Pe=\nu ^{-1}$. Les cas traités correspondent à un Peclet égal à 10, 100, 500, $10^3$ ou $10^6$. Si pour le Peclet le plus faible convection et diffusion sont du même ordre, au fur et à mesure qu'il augmente, la convection devient dominante.

On cherchera la solution stationnaire soit en tant que limite asymptotique du problème transitoire -- en explicite et en implicite -- soit directement en résolvant le problème stationnaire.

Suivant les valeurs croissantes du nombre de Peclet, on observera le raidissement du profil en sortie du domaine, ce dernier étant très proche du profil d'entrée pour le plus haut $Pe$. Dans le cas explicite, on utilisera de la viscosité numérique afin de stabiliser le schéma -- options SUPG et SUPGDC.

Enfin, en implicite, on remplacera l'opérateur TSCAL par les opérateurs élémentaires KONV et LAPN pour traiter indépendamment les différents monômes de l'équation de transport.