Estimation de l'ordre de convergence

La solution sinusoïdale amortie va permettre d'évaluer l'ordre de convergence du schéma en espace.

En effet, cette solution n'étant pas bilinéaire, quel que soit le type d'éléments utilisés, on commet obligatoirement une erreur d'interpolation. Cette erreur, notée $\epsilon$, est proportionnelle au pas du maillage $\Delta x$ à une certaine puissance :

$$\epsilon = a \Delta x ^ p$$

où $a$ est une constante et $p$ l'ordre de l'approximation.

En prenant le logarithme de cette expression, on obtient

$$\log \epsilon = \log a + p \log \Delta x$$

Le logarithme du pas du maillage et le logarithme de l'erreur sont donc liés par une relation linéaire, la pente de la droite obtenue donnant l'ordre du schéma. L'erreur est évaluée en utilisant la norme $L^2$ discrète.

L'ordre de convergence obtenu pour un maillage de triangles en résolvant le problème stationnaire est de 2.33 (Fig 11).

Dans le cas où la solution stationnaire est obtenue comme solution asymptotique de l'équation de la chaleur, il est intéressant de tracer l'évolution de la différence entre deux itérés en fonction du nombre de pas de temps. On voit ici une diminution régulière du résidu (Fig 12). On observe également que plus le maillage est fin, plus la convergence est lente. Cela est normal. Le schéma utilisé ici est explicite. Le pas de temps de stabilité pour le maillage le plus fin est donc plus faible que celui du maillage grossier. Il faut donc plus de pas de temps pour atteindre l'état stationnaire avec le maillage fin.