Influence du maillage

Le domaine peut être maillé en utilisant les éléments géométriques suivants :

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en 2D, des triangles ou des quadrangles ;

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en 3D, des tétraèdres, des prismes ou des hexaèdres.

Pour une discrétisation spatiale de l'équation de la chaleur par éléments finis -- méthode de Galerkin -- et en utilisant les éléments finis polynomiaux de Lagrange de plus bas degré afin d'approximer une fonction continue, intégrable et à dérivée intégrable, les valeurs calculées correspondent à l'approximation de la température aux sommets des éléments. A l'intérieur d'un élément, la température est évaluée par interpolation des valeurs de la température aux sommets de l'élément considéré, les fonctions d'interpolation étant les polynômes de Lagrange.

L'élément triangulaire de plus bas degré a trois sommets. La température est donc connue par :

$$T(x,y) = a + b x + c y$$

où $a$, $b$ et $c$ sont trois constantes déterminées à partir des valeurs de la température aux sommets de l'élément. On ne peut donc calculer de façon exacte que des solutions linéaires à l'aide d'un maillage constitué de triangles linéaires.

Respectivement, dans le cas de quadrangles linéaires, la température est connue par :

$$T(x,y) = a + b x + c y + d x y$$

où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont quatre constantes déterminées à partir des valeurs de la température aux sommets de l'élément. Seules les solutions bilinéaires sont donc évaluées exactement lorsque le maillage est constitué de quadrangles linéaires.

Les résultats obtenus en utilisant la solution bilinéaire de l'équation de la chaleur permettent de confirmer ces résultats : la solution calculée avec un maillage régulier de quadrangles linéaires permet de retrouver la solution analytique -- à la précision machine près -- alors qu'une erreur est commise avec un maillage constitué de triangles linéaires (Fig 9).

Lorsque le maillage de quadrangles est quelconque (i.e. les éléments ne sont pas des parallélépipèdes), on peut observer que la précision chute puisque l'erreur commise est du même ordre que celle obtenue avec un maillage triangulaire. Cette erreur n'est pas liée au degré des fonctions d'interpolation mais à une erreur commise lors de l'évaluation des coefficients de la matrice et du second membre par des formules de quadrature dans le cas de quadrangles déformés. Afin de réduire cette erreur, il suffit de construire des maillages contenant des éléments peu déformés.