.. _sec:ther_trans_bases: Équations de la thermique ========================= Équation locale de la chaleur ----------------------------- **L'équation de la chaleur**, en tout point :math:`x` d'un domaine matériel :math:`\Omega`, s'écrit : .. math:: :name: eq:ther_chaleur_1 \frac{\partial H}{\partial t} + \vec{\nabla}.\vec{\phi} = q avec : - :math:`H(T)` l'enthalpie volumique (en J.m\ :sup:`-3`) - :math:`\vec{\phi}(T,t)` la densité de flux thermique (en W.m\ :sup:`-2`) - :math:`q(T,t)` la puissance volumique, terme source (en W.m\ :sup:`-3`) - :math:`t` le temps (en s) - :math:`T(x,t)` la température (en K), principale inconnue du problème **L'enthalpie volumique** :math:`H` ne dépend que de la température, on peut donc écrire : .. math:: :name: eq:ther_enthalpie_1 \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial T} \frac{\partial T}{\partial t} = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} avec : - :math:`\rho` la masse volumique (en kg.m\ :sup:`-3`) - :math:`c_p` la capacité thermique massique (en J.kg\ :sup:`-1`.K\ :sup:`-1`) **Le flux thermique** :math:`\vec{\phi}` est relié au gradient de température par la *loi de Fourier* : .. math:: \vec{\phi}=-\lambda \vec{\nabla} T où :math:`\lambda` est la conductivité thermique (en W.m\ :sup:`-1`.K\ :sup:`-1`) Dans le cas où il n'y a pas de changement de phase et où les caractéristiques ne dépendent pas de la température, l'équation de la chaleur devient : .. math:: :name: eq:ther_chaleur_2 \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} - \vec{\nabla}.\left(\lambda \vec{\nabla}T\right) = q Conditions aux limites ---------------------- Les *conditions aux limites* peuvent porter soit sur la température :math:`T` : .. math:: :name: eq:ther_cl_timp_1 T=T_{\textrm{imp}} \quad \textsf{sur } \Gamma_T soit sur le flux :math:`\vec{\phi}` à travers un bord de normale :math:`\vec{n}` : .. math:: :name: eq:ther_cl_fimp \begin{align} \vec{\phi}.\vec{n} & = \phi_{\textrm{imp}} & \textsf{sur } & \Gamma_{\phi} & \textsf{flux imposé} \\ \vec{\phi}.\vec{n} & = h(T_f - T) & \textsf{sur } & \Gamma_c & \textsf{convection} \\ \vec{\phi}.\vec{n} & = \varepsilon \sigma (T_{\infty}^4 - T^4) & \textsf{sur } & \Gamma_r & \textsf{rayonnement} \\ \end{align} avec : - :math:`h` le coefficient d'échange (en W.m\ :sup:`-2`.K\ :sup:`-1`) - :math:`T_f` la température du fluide en paroi (en K) - :math:`T_{\infty}` la température à l'infini (en K) - :math:`\varepsilon` l'émissivité de la surface - :math:`\sigma` la constante de Stefan-Boltzmann (égale à en 5,67 10\ :sup:`-8` W.m\ :sup:`-2`.K\ :sup:`-4`) Formulation éléments finis -------------------------- Formulation faible ^^^^^^^^^^^^^^^^^^ En multipliant chaque terme de l'équation :eq:`eq:ther_chaleur_1` par un champ de température virtuel :math:`\tau` non nul, puis en intégrant par partie sur :math:`\Omega`, on obtient une formulation faible de l'équation de la chaleur : .. math:: :name: eq:ther_form_faib_1 \int_{\Omega} \left(\frac{\partial H}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial t}\right)\tau d\Omega - \int_{\Omega} \lambda \vec{\nabla}T.\vec{\nabla}\tau d\Omega + \int_{\Gamma} \left(\lambda \vec{\nabla}T\right).\vec{n}\tau d\Gamma L'intégrale sur le bord :math:`\Gamma` peut se réduire aux bords portant les conditions aux limites :eq:`eq:ther_cl_fimp` de flux imposé : .. math:: :name: eq:ther_form_faib_2 \int_{\Gamma} \left(\lambda \vec{\nabla}T\right).\vec{n}\tau d\Gamma = - \int_{\Gamma_{\phi}}\phi_{\textrm{imp}}\tau d\Gamma_{\phi} - \int_{\Gamma_c}h(T_f-T)\tau d\Gamma_c - \int_{\Gamma_r}\varepsilon\sigma(T_{\infty}^4-T^4)\tau d\Gamma_r Le terme du rayonnement peut être ramené à un terme de convection en faisant l'approximation suivante : .. math:: :name: eq:ther_approx_rayo T_{\infty}^4-T^4 = (T_{\infty}-T)(\tilde{T}^3 + \tilde{T}^2 T_{\infty} + \tilde{T} T_{\infty}^2 + T_{\infty}^3) Cette approximation, permettant de linéariser le flux en fonction de :math:`T`, n'est valable qu'au voisinage de la température :math:`\tilde{T}`. Discrétisation par éléments finis ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ En discrétisant l'espace :math:`\Omega` par un maillage, les températures :math:`T` et :math:`\tau` sont discrétisées sur la base des fonctions d'interpolation :math:`\mathbfcal{N}` : .. math:: T(x,t) = \mathbfcal{N}(x).T(t) = \sum_i \mathcal{N}_i(x) T_i(t) :math:`T` désignant maintenant le **vecteur des températures aux noeuds** et :math:`T_i` la valeur de la température au noeud :math:`i` du maillage. En injectant cette discrétisation dans la formulation faible :eq:`eq:ther_form_faib_1`, nous obtenons le système matriciel pour tout instant :math:`t` : .. math:: :name: eq:ther_ef_1 \mathbfcal{C}(T).\dot{T} + \mathbfcal{K}(T).T = Q :math:`\mathbfcal{C}` est la **matrice de capacité** : .. math:: :name: eq:ther_capa \mathbfcal{C}(T) = \int_{\Omega} \mathbfcal{N}^T.\left(\frac{\partial H}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial t}\right).\mathbfcal{N} d\Omega :math:`\mathbfcal{K}` est la **matrice de conductivité** : .. math:: :name: eq:ther_cond \mathbfcal{K}(T) = \int_{\Omega} \nabla\mathbfcal{N}^T.\lambda(T).\nabla\mathbfcal{N} d\Omega + \int_{\Gamma_c} \mathbfcal{N}^T h(T) \mathbfcal{N} d\Gamma_c + \int_{\Gamma_r} \mathbfcal{N}^T \varepsilon\sigma \tilde{T}^3 \mathbfcal{N} d\Gamma_r :math:`Q` est le **vecteur des puissances thermiques** : .. math:: :name: eq:ther_second_membre Q = \int_{\Omega} \mathbfcal{N}^T q d\Omega + \int_{\Gamma_{\phi}} \mathbfcal{N}^T \phi_{\textrm{imp}} \mathbfcal{N} d\Gamma + \int_{\Gamma_c} \mathbfcal{N}^T hT_f d\Gamma_c + \int_{\Gamma_r} \mathbfcal{N}^T \varepsilon\sigma T_{\infty}^4 d\Gamma_r Prise en compte des blocages/relations ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ La prise en compte des blocages ou des relations en température est faite de manière similaire à la :ref:`mécanique `. Les conditions de températures imposées :eq:`eq:ther_cl_timp_1` s'écrivent à l'aide d'une matrice de blocage :math:`\mathbfcal{A}` : .. math:: :name: eq:ther_cl_timp_2 \mathbfcal{A}.T = T_{\textrm{imp}} Cette égalité sera adjointe au système :eq:`eq:ther_ef_1` et résolue à l'aide de multiplicateurs de Lagrange. Opérateurs de Cast3M associés ----------------------------- Les termes des équations :eq:`eq:ther_ef_1` et :eq:`eq:ther_cl_timp_2` sont calculés à l'aide des opérateurs suivants : - :math:`\mathbfcal{C}`      : `CAPA `_ pour la matrice de capacité - :math:`\mathbfcal{K}`     : `COND `_ pour les 2 premiers termes de conductivité et de convection - :math:`Q`     : `SOUR `_ (puissance volumique :math:`q`), `FLUX `_ (flux imposé :math:`\phi_{\textrm{imp}}`), `CONV `_ (convection) - :math:`\mathbfcal{A}`     : `BLOQ `_ (blocages), `RELA `_ (relations) - :math:`T_{\textrm{imp}}` : `DEPI `_ (valeur des blocages ou relations) - La résolution du problème :eq:`eq:ther_ef_1` nécessite la mise en oeuvre d'un schéma numérique d'intégration temporelle. Plusieurs méthodes sont proposées dans la procédure `PASAPAS `_ et décrites :ref:`ci-après `. - Les termes de rayonnement présents au premier membre :math:`\mathbfcal{K}` :eq:`eq:ther_cond` et second membre :math:`Q` :eq:`eq:ther_second_membre` sont calculés par la procédure `PAS_RAYO `_