$$$$ MMA NOTICE FD218221 26/10/07 21:15:08 12662 DATE 26/10/07 Section : Mathematiques Fonctions ============================================================== Operateur MMA Voir aussi : EXCE LEVM MOCA TOPOPTIM _____________ MOCA_MMA AJUSTE FRAN========================================================== L'operateur MMA met en oeuvre la methode des asymptotes mobiles, "Method of Moving Asymptotes", pour resoudre un probleme d'optimisation non lineaire par approximation convexe [1] [2]. Les variables sont : x = [x_1 ... x_n] (dimension n) variables reeles y = [y_1 ... y_m] (dimension m) variables artificielles d'ecart z variable artificielle d'ajustement Le probleme "generique" est : Minimiser : f_0(x) + a_0*z + Somme [ c_i*y_i + 0.5*d_i*(y_i)^2 ] (fonction objectif) sur x,y,z i=1,...,m soumis a : f_i(x) - a_i*z - y_i <= 0 pour i = 1,...,m (fonctions contraintes) xmin_j <= x_j <= xmax_j pour j = 1,...,n (bornes des variables) z >= 0 y_i >= 0 pour i = 1,...,m Cette formulation generique permet de traiter, dans le meme cadre, plusieurs problemes "classiques" d'optimisation, comme par exemple : - un probleme "standard" de minimisation sous contraintes : Minimiser : f_0(x) soumis a : f_i(x) <= 0 pour i = 1,...,m - un probleme "min-max" sur un groupe de fonctions : Minimiser : Max{h_i(x)} pour i = 1,...,p soumis a : g_i(x) <= 0 pour i = 1,...,q - un probleme des "moindres carres" sous la forme : Minimiser : 0.5 * Somme [ (h_i(x))^2 ] i=1,...,p soumis a : g_i(x) <= 0 pour i = 1,...,q Plus d'informations sont disponibles dans la section "Remarques". Syntaxe : --------- MMA TAB1 ; Objet : ------- L'operateur permet d'effectuer une iteration d'optimisation par la MMA a partir de la donnee de : -- un point de depart x -- l'evaluation de la fonction f_0(x) et des fonctions f_i(x) -- l'evaluation de leurs gradients : -- gadients de f_0, par rapport a toutes les variables x_j, en x -- gradients des f_i, par rapport a toutes les variables x_j, en x La nouvelle variable optimisiee x' est rendue et peut alors servir a : -- evaluer a nouveau les fonctions et leurs gradients en x' -- effectuer une nouvelle iteration de MMA -- evaluer un critere de convergence global -- etc... Exemples d'utilisation : -- petite taille (peu de variables) : mma_**.dgibi gcmma_**.dgibi -- grande taille (optimisation topologique) : top_mma.dgibi Arguments d'entree (obligatoires) : ----------------------------------- TAB1 : TABLE contenant les donnees du probleme d'optimisation TAB1 . 'X' : LISTREEL (dimension n) valeurs de depart des variables x_j TAB1 . 'XMIN' : LISTREEL (dimension n) ou FLOTTANT bornes inferieures des x_j si un FLOTTANT est donne, la meme borne est imposee pour tous les x_j TAB1 . 'XMAX' : LISTREEL (dimension n) ou FLOTTANT bornes superieures des x_j si un FLOTTANT est donne, la meme borne est imposee pour tous les x_j TAB1 . 'F0VAL' : FLOTTANT valeur de la fonction objectif f_0 (au point x) TAB1 . 'DF0DX' : LISTREEL (dimension n) gradient de f_0 par rapport au variables x_j (au point x) TAB1 . 'FVAL' : LISTREEL (dimension m) valeurs des fonctions contraintes f_i (au point x) TAB1 . 'DFDX' : gradients des fonctions contraintes f_i, 2 types possibles, TABLE ou LISTOBJE : - TABLE contenant m indices ENTIER : . 1 : LISTREEL (dimension n), gradient de f_1 par rapport au variables x_j (au point x) ... ... . m : LISTREEL (dimension n), gradient de f_m par rapport au variables x_j (au point x) - LISTOBJE contenant m objets LISTREEL de dimension n. La ieme liste contenant le gradient de f_i par rapport aux variables x_j (au point x) Arguments d'entree (facultatifs) : ---------------------------------- TAB1 . 'ITER' : ENTIER (facultatif), numero de l'iteration courante ( = 1 au premier appel a MMA) par defaut, pris egal a 1 TAB1 . 'XOLD1' : LISTREEL (facultatif, dimension n) contenant les valeurs 'X', 1 iteration precedente (a condition que 'ITER' > 1) par defaut, pris egal à 'X' TAB1 . 'XOLD2' : LISTREEL (facultatif, dimension n) contenant les valeurs 'X', 2 iterations precedentes (a condition que 'ITER' > 2) par defaut, pris egal à 'XOLD1' TAB1 . 'LOW' : LISTREEL (facultatif, dimension n) valeurs des asymptotes inferieures a l'iteration precedente (a condition que 'ITER' > 1) par defaut, pris egale a 'XMIN' TAB1 . 'UPP' : LISTREEL (facultatif, dimension n) valeurs des asymptotes superieures a l'iteration precedente (a condition que 'ITER' > 1) par defaut, pris egale a 'XMAX' TAB1 . 'A0' : FLOTTANT (facultatif) coefficient dans l'equation a_0*z du probleme par defaut, pris egal a 1. TAB1 . 'A' : LISTREEL (facultatif, dimension m) ou FLOTTANT coefficients dans l'equation a_i*z du probleme par defaut, pris egal a [0. 0. ..., 0.] si un FLOTTANT est donne, le meme coefficient est impose pour tous les a_i TAB1 . 'C' : LISTREEL (facultatif, dimension m) ou FLOTTANT coefficients dans l'equation c_i*y_i du probleme par defaut, pris egal a [10000. 10000. ... 10000.] si un FLOTTANT est donne, le meme coefficient est impose pour tous les c_i TAB1 . 'D' : LISTREEL (facultatif, dimension m) ou FLOTTANT coefficients dans l'equation 0.5*d_i*(y_i)^2 du probleme par defaut, pris egal a [1. 1. ... 1.] si un FLOTTANT est donne, le meme coefficient est impose pour tous les d_i TAB1 . 'MOVE' : FLOTTANT (facultatif) taille maximale de l'increment des variables par defaut, pris egal a 0.1 TAB1 . 'ALBEFA' : FLOTTANT (facultatif) pourcentage d'ecart par rapport aux bornes ALFA/BETA du sous-probleme convexe par defaut, pris egal a 0.1 TAB1 . 'RAA0' : FLOTTANT (facultatif) parametre de conservatisme/courbure de l'objectif du sous probleme convexe par defaut, pris egal a 0.00001 TAB1 . 'ASYINIT' : FLOTTANT (facultatif) facteur d'initialisation des asymptotes LOW/UPP du sous probleme convexe par defaut, pris egal a 0.5 TAB1 . 'ASYINCR' : FLOTTANT (facultatif) facteur d'eloignement des asymptotes LOW et UPP du sous probleme convexe par defaut, pris egal a 1.2 TAB1 . 'ASYDECR' : FLOTTANT (facultatif) facteur de rapprochement des asymptotes LOW et UPP du sous probleme convexe par defaut, pris egal a 0.7 TAB1 . 'ASYMIN' : FLOTTANT (facultatif) limite inferieure de la distance entre les asymptotes LOW et UPP du sous probleme convexe par defaut, pris egal a 0.01 TAB1 . 'ASYMAX' : FLOTTANT (facultatif) limite superieure de la distance entre les asymptotes LOW et UPP du sous probleme convexe par defaut, pris egal a 10. TAB1 . 'EPSIMIN' : FLOTTANT (facultatif) tolerance de convergence pour la resolution du sous probleme par defaut, pris egal a 0.0000001 Arguments d'entree pour la GC-MMA (facultatifs) : ------------------------------------------------- TAB1 . 'GC' : LOGIQUE (facultatif), egal a VRAI pour utiliser la GC-MMA, version "Globalement Convergente" [2]. par defaut, pris egal a FAUX TAB1 . 'RAA' : LISTREEL (facultatif, dimension m), parametres de conservatisme/courbure des contraintes du sous probleme convexe par defaut, pris egal a [0.00001 0.00001 ... 0.00001] Arguments de sortie (les indices suivants sont ecrases) : --------------------------------------------------------- TAB1 . 'X' : LISTREEL (dimension n) valeurs optimisees des variables reeles x_j les valeurs precedentes sont deplacees dans l'indice 'XOLD1' TAB1 . 'XOLD1' : LISTREEL (dimension n) valeurs de 'X' 1 iteration precedente les valeurs precedentes sont deplacees dans l'indice 'XOLD2' TAB1 . 'XOLD2' : LISTREEL (dimension n) valeurs de 'XOLD1' 1 iteration precedente, correspond a 'X' 2 iterations precedentes TAB1 . 'ITER' : ENTIER, egal a sa valeur precedente + 1 TAB1 . 'LOW' : LISTREEL (dimension n) valeurs des asymptotes inferieures mises a jour TAB1 . 'UPP' : LISTREEL (dimension n) valeurs des asymptotes superieures mises a jour TAB1 . 'Y' : LISTREEL (dimension m) valeurs optimisees des variables d'ecart y_i associees a chaque fonction contrainte f_i TAB1 . 'Z' : FLOTTANT valeur optimisee de la variable d'ajustement z TAB1 . 'LAMBDA' : LISTREEL (dimension m) multiplicateurs de Lagrange associes aux contraintes f_i TAB1 . 'XSI' : LISTREEL (dimension n) multiplicateurs de Lagrange associes aux bornes inferieures xmin_j <= x_j TAB1 . 'ETA' : LISTREEL (dimension n) multiplicateurs de Lagrange associes aux bornes superieures x_j <= xmax_j TAB1 . 'MU' : LISTREEL (dimension m) multiplicateurs de Lagrange associes aux contraintes y_i >= 0 TAB1 . 'ZET' : FLOTTANT multiplicateur de Lagrange associes a la contrainte z>= 0 TAB1 . 'S' : LISTREEL (dimension m) variables d'ecart associees aux contraintes f_i Arguments de sortie pour la GC-MMA : ------------------------------------ TAB1 . 'CONSERV' : LOGIQUE indiquant si le sous probleme resolu a la derniere sous iteration est conservatif TAB1 . 'RAA0' : FLOTTANT, valeur mise a jour du parametre de conservatisme/courbure de l'objectif du sous probleme convexe TAB1 . 'RAA' : LISTREEL (dimension m), valeurs mises a jour des parametres de conservatisme/courbure des contraintes du sous probleme convexe TAB1 . 'WTABLE' : TABLE des resultats de la derniere sous iteration, tant que le sous probleme n'est pas conservatif TAB1 . 'WTABLE' . 'ITER' : ENTIER numero de la derniere sous iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'RAA0' : FLOTTANT valeur de RAA0 utilise a la derniere sous iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'RAA' : LISTREEL valeurs de RAA utilisees a la derniere sous iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'F0APP' : FLOTTANT valeur approximee de la fonction objectif TAB1 . 'WTABLE' . 'FAPP' : LISTREEL valeurs approximees des fonctions contraintes TAB1 . 'WTABLE' . 'X' : LISTREEL valeurs de X a la derniere sous iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'Y' : LISTREEL valeurs de Y a la derniere sous iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'Z' : FLOTTANT valeur de Z a la derniere sous iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'LAMBDA' : LISTREEL valeurs de LAMBDA a la derniere sous iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'XSI' : LISTREEL valeurs de XSI a la derniere sous iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'ETA' : LISTREEL valeurs de ETA a la derniere sous iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'MU' : LISTREEL valeurs de MU a la derniere sous iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'ZET' : FLOTTANT valeur de ZET a la derniere sous iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'S' : LISTREEL valeurs de S a la derniere sous iteration Remarques : ----------- Ces remarques sont issues de la section "Some practical consideration" de l'artice de K. Svanberg. Il s'agit de recommandations pour le choix des fonctions contraintes, leur mise a l'echelle et des parametres de l'optimisation. - Les contraintes f_i(x) <= 0 sont generalement ecritent sous la forme g_i(x) <= gmax_i ce qui correspond a f_i(x) = g_i(x) - gmax_i il est recommande de mettre a l'echelle les fonctions de sorte que 1 ≤ gmax_i ≤ 100 - Il est recommande de mettre a l'echelle la fonction objectif de sorte que 1 ≤ f_0(x) ≤ 100 - Il est recommande de mettre a l'echelle les variables x_j de sorte que 0.1 ≤ xmax_j - xmin_j ≤ 100 Pour rendre le probleme "generique" (quasiment) equivalent au probleme "standard", il faut choisir : a_0 = 1 a_i = 0 pour i = 1,...,m c_i = "un grand nombre" pour i = 1,...,m d_i = 1 pour i = 1,...,m ce qui correspond aux valeurs par defaut de ces coefficients. Pour plus d'informations : -------------------------- Code original de K. Svanberg (en Matlab) : https://www.smoptit.se/ Details de fonctionnement et d'implementation de la methode : https://people.kth.se/~krille/mmagcmma.pdf ANGL========================================================== The MMA operator implements the Method of Moving Asymptotes [1] [2] to solve an nonlinear optimization problem by convex approximation. The variables are: x = [x_1 ... x_n] (dimension n) real variables y = [y_1 ... y_m] (dimension m) slack variables z scaled variable The "generic" problem is: Minimize: f_0(x) + a_0*z + Sum [ c_i*y_i + 0.5*d_i*(y_i)^2 ] (objective function) over x,y,z i=1,...,m subject to: f_i(x) - a_i*z - y_i <= 0 for i = 1,...,m (constraints functions) xmin_j <= x_j <= xmax_j for j = 1,...,n (bounds on the variables) z >= 0 y_i >= 0 for i = 1,...,m This generic formulation makes it possible to handle, within the same framework, several "classical" optimization problems, such as: - a constrained "standard" minimization problem: Minimize: f_0(x) subject to: f_i(x) <= 0 for i = 1,...,m - a constrained "min-max" problem: Minimize: Max{h_i(x)} for i = 1,...,p subject to: g_i(x) <= 0 for i = 1,...,q - a constrained "least squares" problem on the form: Minimize: 0.5 * Sum [ (h_i(x))^2 ] i=1,...,p subject to: g_i(x) <= 0 for i = 1,...,q More information is available in the "Remarks" section. Syntax: ------- MMA TAB1 ; Description : ------------- The operator performs an optimization iteration using MMA based on the given data: -- a starting point x -- the evaluation of the function f_0(x) and the functions f_i(x) -- the evaluation of their gradients: -- gradients of f_0, with respect to all variables x_j, at x -- gradients of f_i, with respect to all variables x_j, at x The new optimized variable x' is returned and can then be used to: -- re-evaluate the functions and their gradients at x' -- perform a new MMA iteration -- evaluate a global convergence criterion -- etc... Examples of use: -- small problems (with few variables) : mma_**.dgibi gcmma_**.dgibi -- large problems (topology optimization): top_mma.dgibi Input Arguments (required): --------------------------- TAB1 : TABLE containing the optimization problem data TAB1 . 'X' : LISTREEL objet (list of n values) initial values of the variables x_j TAB1 . 'XMIN' : LISTREEL object (list of n values) or FLOTTANT (single value) lower bounds of x_j if a FLOTTANT is given, the same bound is imposed for all x_j TAB1 . 'XMAX' : LISTREEL object (list of n values) or FLOTTANT (single value) upper bounds of x_j if a FLOTTANT is given, the same bound is imposed for all x_j TAB1 . 'F0VAL' : FLOTTANT value of the objective function f_0 (at point x) TAB1 . 'DF0DX' : LISTREEL (list of n values) gradient of f_0 with respect to variables x_j (at point xval) TAB1 . 'FVAL' : LISTREEL (list of m values) values of constraint functions f_i (at point xval) TAB1 . 'DFDX' : gradients of the constraint functions f_i, 2 types possible, TABLE or LISTOBJE: - TABLE containing m integer indices: . 1 : LISTREEL (list of n values), gradient of f_1 with respect to variables x_j (at point x) ... ... . m : LISTREEL (list of n values), gradient of f_m with respect to variables x_j (at point x) - LISTOBJE containing m LISTREEL objects of dimension n. The i-th list contains the gradient of f_i with respect to the variables x_j (at point x) Input Arguments (optional): --------------------------- TAB1 . 'ITER' : ENTIER (integer, optional), number of the current iteration ( = 1 on the first call to MMA) default value is 1 TAB1 . 'XOLD1' : LISTREEL (list of n values, optional) containing the 'X' values from 1 previous iteration (provided that 'ITER' > 1) by default, taken as equal to 'X' TAB1 . 'XOLD2' : LISTREEL (list of n values, optional) containing the 'X' values from 2 previous iterations (provided that 'ITER' > 2) by default, taken as equal to 'XOLD1' TAB1 . 'LOW' : LISTREEL (list of n values, optional) values of the lower asymptotes at the previous iteration (provided that 'ITER' > 1) by default, taken as equal to 'XMIN' TAB1 . 'UPP' : LISTREEL (list of n values, optional) values of the upper asymptotes at the previous iteration (provided that 'ITER' > 1) default value: 'XMAX' TAB1 . 'A0' : FLOTTANT (single value, optional) coefficient in equation a_0*z of the problem default value: 1. TAB1 . 'A' : LISTREEL (list of m values, optional) or FLOTTANT (single value) coefficients in the equation a_i*z of the problem default value is [0. 0. ... 0.] if a FLOTTANT (single value) is given, the same coefficient is applied to all a_i TAB1 . 'C' : LISTREEL (list of m values, optional) or FLOTTANT (single value) coefficients in equation c_i*y_i of the problem default value is [1000. 1000. ... 1000.] if a FLOTTANT (single value) is given, the same coefficient is applied to all c_i TAB1 . 'D' : LISTREEL (list of m values, optional) or FLOTTANT (single value) coefficients in the equation 0.5*d_i*(y_i)^2 of the problem default value is [1. 1. ... 1.] if a FLOTTANT (single value) is given, the same coefficient is applied to all d_i TAB1 . 'MOVE' : FLOTTANT (single value, optional) maximam variable step size default value is 0.1 TAB1 . 'ALBEFA' : FLOTTANT (optional) percentage deviation from the bounds ALFA/BETA of the convex subproblem default value is 0.1 TAB1 . 'RAA0' : FLOTTANT (optional) conservativeness/curvature parameter for the objective of the convex subproblem default value: 0.00001 TAB1 . 'ASYINIT' : FLOTTANT (optional) initialization factor for the LOW/UPP asymptotes of the convex subproblem default value: 0.5 TAB1 . 'ASYINCR' : FLOTTANT (optional) separation factor for the LOW/UPP asymptotes of the convex subproblem default value: 1.2 TAB1 . 'ASYDECR' : FLOTTANT (optional) convergence factor for the LOW/UPP asymptotes of the convex subproblem default value: 0.7 TAB1 . 'ASYMIN' : FLOTTANT (optional) lower bound on the distance between the LOW/UPP asymptotes of the convex subproblem default value: 0.01 TAB1 . 'ASYMAX' : FLOTTANT (optional) upper bound on the distance between the LOW/UPP asymptotes of the convex subproblem by default, set to 10. TAB1 . 'EPSIMIN' : FLOTTANT (optional) convergence tolerance for solving the subproblem default value is 0.0000001 Input arguments for GC-MMA (optional): -------------------------------------- TAB1 . 'GC' : LOGIQUE (logical, optional), equal to VRAI (true) to use the GC-MMA, "Globaly Convergent" [2] version. default value is FAUX (false) TAB1 . 'RAA' : LISTREEL (optional, dimension m), conservativeness/curvature parameters for the convex subproblem by default, set to [0.00001 0.00001 ... 0.00001] Output Arguments (the following indices are overwritten): --------------------------------------------------------- TAB1 . 'X' : LISTREEL (list of n values) optimized values of real variables x_j TAB1 . 'XOLD1' : LISTREEL (list of n values) values of 'X' 1 previous iteration TAB1 . 'XOLD2' : LISTREEL (list of n values) values of 'XOLD1' 1 previous iteration, corresponds to the values of 'X' 2 previous iterations TAB1 . 'ITER' : ENTIER (integer), equal to its previous value + 1 TAB1 . 'LOW' : LISTREEL (list of n values) updated lower asymptotes values TAB1 . 'UPP' : LISTREEL (list of n values) updated upper asymptote values TAB1 . 'Y' : LISTREEL (list of m values) optimzed values of slack variables y_i TAB1 . 'Z' : FLOTTANT (single value) optimzed value of scaled variable z TAB1 . 'LAMBDA' : LISTREEL (list of m values) Lagrange multipliers associated with the constraints on f_i TAB1 . 'XSI' : LISTREEL (list of n values) Lagrange multipliers associated with the lower bounds xmin_j <= x_j TAB1 . 'ETA' : LISTREEL (list of n values) Lagrange multipliers associated with the upper bounds x_j <= xmax_j TAB1 . 'MU' : LISTREEL (list of m values) Lagrange multipliers associated with the constraints on y_i >= 0 TAB1 . 'ZET' : FLOTTANT (single value) Lagrange multiplier associated with the constraint z >= 0 TAB1 . 'S' : LISTREEL (list of m values) slack variables for the constraints f_i Output arguments for GC-MMA: ------------------------------------ TAB1 . 'CONSERV' : LOGIQUE (logical) indicating whether the subproblem solved in the last sub-iteration is conservative TAB1 . 'RAA0' : FLOTTANT (single value), updated value of the conservativeness/ curvature parameter of the convex subproblem's objective TAB1 . 'RAA' : LISTREEL (list of m values), updated values of the conservativeness/ curvature parameters of the convex subproblem's constraints TAB1 . 'WTABLE' : TABLE of results from the last sub-iteration, as long as the subproblem is not conservative TAB1 . 'WTABLE' . 'ITER' : ENTIER (integer) number of the last sub-iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'RAA0' : FLOTTANT single value of RAA0 used in the last sub-iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'RAA' : LISTREEL list of m values of RAA used in the last sub-iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'F0APP' : FLOTTANT approximate value of the objective function TAB1 . 'WTABLE' . 'FAPP' : LISTREEL approximate values of the constraint functions TAB1 . 'WTABLE' . 'X' : LISTREEL list of n values of X at the last sub-iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'Y' : LISTREEL list of m values of Y at the last sub-iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'Z' : FLOTTANT single value of Z at the last sub-iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'LAMBDA' : LISTREEL list of m values of LAMBDA at the last sub-iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'XSI' : LISTREEL list of n values of XSI at the last sub-iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'ETA' : LISTREEL list of n values of ETA at the last sub-iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'MU' : LISTREEL list of m values of MU at the last sub-iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'ZET' : FLOTTANT single value of ZET at the last sub-iteration TAB1 . 'WTABLE' . 'S' : LISTREEL list of m values of S at the last sub-iteration Remarks: -------- These remarks are taken from the section "Some practical considerations" in K. Svanberg's article. They are recommendations for choosing constraint functions (scaling) and optimization parameters. - The constaints f_i(x) <= 0 are generally written in the form g_i(x) <= gmax_i which corresponds to f_i(x) = g_i(x) - gmax_i The user should then preferably scale the constraints in such a way that 1 ≤ gmax_i ≤ 100 - The objective function should preferably be scale in such a way that 1 ≤ f_0(x) ≤ 100 - The variables x_j should preferably be scaled such that 0.1 ≤ xmax_j - xmin_j ≤ 100 To make the "generic" problem (almost) equivalent to the "standard" problem, the user should choose: a_0 = 1 a_i = 0 for i = 1,...,m c_i = "a large number" for i = 1,...,m d_i = 1 for i = 1,...,m which corresponds to the default values for these coefficients. For more information: --------------------- Original code by K. Svanberg (in Matlab): https://www.smoptit.se/ Details on the method and its implementation: https://people.kth.se/~krille/mmagcmma.pdf ============================================================== References: [1] K. Svanberg, The method of moving asymptotes – a new method for structural optimization International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1987, 24, 359-373. [2] K. Svanberg, A class of globally convergent optimization methods based on conservative convex separable approximations SIAM Journal of Optimization, 2002, 12, 555-573. $$$$