$$$$ KBBT NOTICE CHAT 11/09/12 21:16:41 7124 DATE 11/09/12 Operateur KBBT Voir aussi : NAVI KMAB -------------- KMBT DUDW EQEX SYNTAXE ( EQEX ) : Cf operateur EQEX __________________ 'OPER' 'KBBT' coef 'INCO' 'UN' 'PRES' Section : Fluides Resolution FRAN==================================================================== OBJET : ----- L'operateur KBBT discretise les termes Div U et Grad P par une methode d'elements finis, de sorte que le systeme obtenu reste symetique. --------------- Commentaires ____________ coef coefficent multiplicateur FLOTTANT ou CHPOINT SCAL SOMMET (porosite volumique) ou CHPOINT VECT SOMMET (porosite directionnelle) ou MOT beta parametre de stabilisation pour les elements lineaires FLOTTANT ou MOT UN Champ de vitesse CHPOINT VECT SOMMET ou MOT PRES Champ de pression CHPOINT SCAL CENTRE ou MOT CHPOINT SCAL CENTREP1 ou MOT CHPOINT SCAL CENTREP0 ou MOT le type doit etre precise dans les options mot cle INCOD Un coefficient de type MOT indique que l'operateur va chercher le champ dans la table INCO a l'indice MOT. Complements d'information : ___________________________ Soit le systeme d'equations de type Stokes ou Navier-Stokes regissant l'ecoulement d'un fluide incompressible et visqueux. A U + Grad P = F : equation de quantite de mouvement -Div U = 0 : equation de conservation de la masse ou U et P sont respectivement la vitesse et la pression A est un operateur inversible (en general l'operateur de diffusion/ convection) Dans la formulation variationelle retenue le terme Grad P est integre par partie ce qui conduit si A est symetrique a un systeme discretise symetrique (cas Stokes) en ecrivant l'equation de continuite: - Div U = 0 . t | A -B |(U) (F) | |( ) =( ) |-B 0 |(P) (0) t / ou B est la matrice de | P Div W dv |v (W fonction test pour la vitesse) / B est la matrice de | q Div V dv |v (q fonction test pour la pression) L'operateur KBBT construit donc les matrices elementaires correspondant aux operateurs B et Bt (seule B est stokee) :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: REMARQUE : Compte tenu du changement de signe de la deuxieme equation un eventuel terme source devra etre affecte d'un signe negatif. :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1/ Conditions limites induites : En integrant par partie et en utilisant le theoreme de la divergence on a : / / / | W*Grad P dv = | W P n ds - | P Div W dv |v |s |v L'integrale de surface est omise ce qui conduit a la condition limite par defaut : / | W P n ds = 0 (n normale exterieure) |s Ceci est a completer des conditions limites induites par d'autres operateurs integres par partie. Voir l'operateur TOIM pour imposer une valeur non nulle. ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2/ Si toutes les vitesses normales sont imposees (nulles ou non) sur les frontieres, il faut IMPERATIVEMENT imposer la pression en un point. C'est le cas pour tout ecoulement d'un fluide incompressible en cavite fermee. ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 3/ Si le coefficient est de type CHPOINT SCAL SOMMET (Porosite volumique H) On calcule : / / / / | W*H*Grad P dv = | WHP n ds - | P H Div W dv - | P W Grad H dv |v |s |v |v 4/ Si le coefficient est de type CHPOINT VECT SOMMET (Porosite surfacique ou directionnelle Hi ) On calcule : / / / / | W*Hi*Grad P dv = | WHi P n ds - | P Hi Div W dv - | P W Grad Hi dv |v |s |v |v Options : (EQEX) _________ OPTI INCOD CENTRE CENTREP1 CENTREP0 ANGL==================================================================== Description : _____________ The KBBT operator discretizes the terms Div U and Grad P by a finite element method, in order to keep symetric the linear system. ------------- Contents : __________ coef coefficient FLOTTANT or CHPOINT SCAL SOMMET (volumic porosity) or CHPOINT VECT SOMMET (directional porosity) or MOT beta stabilization parameter FLOTTANT UN Velocity field CHPOINT VECT SOMMET or MOT PRES Pressure field CHPOINT SCAL CENTRE or MOT CHPOINT SCAL CENTREP1 or MOT CHPOINT SCAL CENTREP0 or MOT the type has to be given with the option key word INCOD When coefficients are of type MOT, the operator looks for data in INCO table at the index corresponding to the given name. Comments ________ Considering the Stokes or Navier-Stokes equations for an incompressible viscous flow. A U + Grad P = F : momentum equation -Div U = 0 : continuity equation where U and P are respectively the velocity and the pressure, A an invertible operator (usually diffusion/advection operator). In the variational formulation the term 'Grad P' is integrated by part which leads to a symetric system the continuity equation being written : - Div U = 0 . t | A -B |(U) (F) | |( ) =( ) |-B 0 |(P) (0) t / where B is the matrix of | P Div W dv |v (W test function for the velocity) / B is the matrix of | q Div V dv |v (q test function for the pressure) The KBBT operator constructs the matrices corresponding to the operators B and Bt (only B is stored) ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: REMARK : Considering the sign of the second equation an eventual source term must be negative. ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1/ Associated boundary conditions : Integrating by parts and using the divergence theorem we get : / / / | W*Grad P dv = | P n ds - | P Div W dv |v |s |v The surface integral is ommited which leads to the natural induced boundary condition: / | P n ds = 0 (n outward normal) |s Additional induced boundary conditions can appear whith other operator like LAPN. See operator TOIM in order to impose a value to the surface integral. :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 2/ If all normal velocities are prescribed (zero or not) all around the boundaries, it is NECESSARY to impose the pressure at a point. It ist the case for all incompressible flows in a closed cavity. ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 3/ If the coefficient is of type CHPOINT SCAL SOMMET (volumic porosity H) the operator computes : / / / / | W*H*Grad P dv = | WHP n ds - | P H Div W dv - | P W Grad H dv |v |s |v |v 4/ If the coefficient is of type CHPOINT VECT SOMMET (directional Porosity Hi ) the operator computes : / / / / | W*Hi*Grad P dv = | WHi P n ds - | P Hi Div W dv - | P W Grad Hi dv |v |s |v |v Options : (EQEX) _________ OPTI INCOD CENTRE CENTREP1 CENTREP0