.. _sec:mecanique_statique_cl_depi: Conditions sur les déplacements =============================== Relations linéaires entre inconnues de déplacement -------------------------------------------------- En pratique, on a besoin de généraliser la condition de déplacement imposé à des relations linéaires entre inconnues de déplacement, par exemple, pour prescrire des conditions de symétrie. Ainsi, les conditions sur les déplacements s'écrivent de façon plus générale : .. math:: A.U = d avec :math:`A`, la matrice des relations linaires entre inconnues de déplacement, et :math:`d`, les valeurs imposées. Dans le cas d'une condition de déplacement imposé usuelle, :math:`A` est la matrice identité. Traitement des conditions sur les déplacements ---------------------------------------------- Il existe principalement trois méthodes pour résoudre un système linéaire avec des conditions imposées sur ses inconnues primales : - la méthode d'élimination ; - la méthode de pénalisation ; - la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Dans Cast3M, on utilise formellement la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Méthode des multiplicateurs de Lagrange --------------------------------------- Pour un système linéaire d'inconnue \ :math:`U` à résoudre tel que : .. math:: K^{e}.U=F^S + F^V - B.\sigma^{nl} l'ajout de :math:`n` conditions sur le champ solution équivaut à introduire :math:`n` inconnues supplémentaires :math:`\lambda`, appelées *multiplicateurs de Lagrange*, telles que : .. math:: :name: eq:statiqueLagrange1 K^{e}.U + A^T.\lambda = F^S + F^V - B.\sigma^{nl} \qquad \textrm{avec} \qquad A.U=d La précédente :ref:`relation force-déplacement ` permet d'identifier que le terme :math:`A^T.\lambda` est égal, au signe près, aux efforts de réaction aux déplacements imposés \ :math:`F^R`. La matrice :math:`A` étant sans dimension, les multiplicateurs de Lagrange sont homogènes à des efforts. On peut assembler ces deux équations sous forme matricielle : .. math:: \left( \begin{array}{cc} K^{e} & A^T \\ A & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} U \\ \lambda \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} F^S + F^V - B.\sigma^{nl} \\ d \end{array} \right) pour expliciter formellement un seul système linéaire : .. math:: \hat{K}.\hat{U} = \hat{F} La méthode des multiplicateurs de Lagrange permet de formaliser correctement le fait d'imposer des conditions sur les inconnues primales d'un système linéaire. Elle a toutefois le défaut d'accroître la taille du système à résoudre. Par ailleurs, la matrice :math:`\hat{K}` n'est pas toujours factorisable sans pivotage. Dans , on utilise la méthode des doubles multiplicateurs de Lagrange pour contourner cette difficulté. Pour plus de détails sur la mise en œuvre de cette méthode, on peut consulter l'article de `P. Verpeaux et T. Charras `_. .. _operateurs_associes_2: Opérateurs de Cast3M associés ----------------------------- Dans Cast3M, ce type de conditions est réalisé grâce aux opérateurs suivants : - :math:`A`          : `BLOQ `_ (bloquer) et `RELAtion `_ (relation) ; - :math:`d`           : `DEPI `_ (DEPlacement Imposé) ; - :math:`\hat{K}` et :math:`\hat{F}` : `ET `_, pour assembler :math:`K^{e}` et :math:`A` ainsi que les second membres (:math:`F^S+F^V-B.\sigma^{nl}`) et :math:`d` ; - :math:`\hat{U}`          : `RESO `_ (résoudre) avec, comme arguments, :math:`\hat{K}` et :math:`\hat{F}`.