.. _sec:equation_dyn: Équation de la dynamique ======================== Équation générale du mouvement ------------------------------ On considère ici un système mécanique sollicité ou qui évolue dans le temps suffisamment rapidement pour que ne soient pas négligés les *effets d'inertie*, ni les *effets visqueux*. Il est donc régit par la forme faible stipulant que :math:`\forall \vec{v}` cinématiquement admissible à 0, on doit trouver :math:`\vec{u}` et :math:`\sigma` tels que soit vérifié à chaque instant : .. math:: :label: eq_ppv1 \int_{\Omega} \rho \ddot{\vec{u}}(t) \vec{v}(t) + f^\text{visq}(\vec{u},\dot{\vec{u}}) \vec{v}(t) + \sigma(t) : \epsilon(\vec{v}(t)) d\Omega \\ \qquad = \int_{d\Omega} f^\text{ext}(t)\vec{v}(t) + f^\text{nl}(\vec{u},\dot{\vec{u}}) \vec{v}(t) d\Gamma La méthode des éléments finis amène à discrétiser le déplacement (ainsi que la vitesse et l'accélération) sous la forme : .. math:: :label: eq_fem1 \vec{u}(x,t) = \begin{bmatrix} \vec{e}_1 \, \vec{e}_2 \, \vec{e}_3 \end{bmatrix} \, \begin{bmatrix} \mathcal{N}(x) \end{bmatrix} \, u(t) La combinaisons des deux équations précédentes conduit à l'équation d'équilibre dynamique discrétisée : .. math:: :label: eq_dyn1 \mathcal{M} \ddot{u}(t) + \mathcal{F}^\text{visq}(\dot{u},u) + \mathcal{F}^\text{int}(\sigma) = \mathcal{F}^\text{ext}(t) + \mathcal{F}^\text{nl}(u,\dot{u}) où l'on a distingué au second membre le *chargement extérieur* et les efforts non-linéaires liées au *contact frottant*. Les non-linéarités de type *comportement* ou *grands déplacements* sont quant à elles complètement intégrées dans les efforts internes. Leur traitement n'est pas propre à la dynamique et nous n'en discuterons pas plus ici. Équation du mouvement linéarisée pour les problèmes vibratoires --------------------------------------------------------------- La plupart des problèmes dynamiques vibratoires se caractérise par de *petits* mouvements autour d'une position d'équilibre stationnaire. On décompose ainsi la solution dynamique en la somme d'une contribution stationnaire et vibratoire : .. math:: :label: eq_dyn2vib u^\text{tot}(t) &= u^0 + u(t) \\ \sigma^\text{tot}(t) &= \sigma^0 + u(t) \\ Lorsque l'amplitude des vibrations est suffisamment petite pour être considérée comme une *petite perturbation*, on peut linéariser les termes liés aux efforts internes et visqueux : .. math:: :label: eq_dyn2 \mathcal{M} \ddot{u}(t) + \mathcal{C} \dot{u}(t) + \mathcal{K} u(t) = \mathcal{F}^\text{ext}(t) + \mathcal{F}^\text{nl}(u,\dot{u}) Si les contraintes de l'équilibre autour duquel le problème vibratoire est calculé sont non négligeables, alors la linéarisation des efforts internes conduit à la prise en compte d'un terme de pré-contraintes calculé avec l'opérateur ``KSIG`` (`notice de KSIG `_) en plus du terme lié à l'élasticité obtenu avec ``RIGI`` (`notice de RIGI `_) : :math:`\mathcal{K} = \mathcal{K}^\text{RIGI} + \mathcal{K}^\text{KSIG}(\sigma^0)`. Le cas-test `vibr13 `_ est un exemple de calcul des modes propres d'une poutre précontrainte axialement. De la même façon, la linéarisation d'une force de pression suiveuse conduit à l'ajout des termes ``KSIG`` et ``KP`` (`notice de KP `_) (voir l'exemple `vibr8 `_). Cette équation n'est pas complètement linéarisée à cause de la présence du terme d'efforts non-linéaires au second membre qu'on a volontairement conservé. Mais c'est cette forme qui est intéressante pour la plupart des études vibratoires. À cette équation, il convient d'ajouter les *conditions aux limites* qui s'expriment sous la forme d'une relation linéaire : .. math:: :label: eq_dyn3 \mathcal{L} u(t) = u^\text{imp}(t) et des *conditions initiales* généralement exprimée en (déplacement,vitesse) à l'instant :math:`t=0` : .. math:: :label: eq_dyn4 u(t=0) &= u_0 \\ \dot{u}(t=0) &= \dot{u}_0 On va voir par la suite qu'on ne cherche pas toujours à intégrer d'emblée cette équation différentielle. En effet, une bonne connaissance du comportement dynamique du système passe souvent par l'étude de ses modes, sa réponse à une excitation harmonique ou aléatoire caractérisée par un spectre, sa stabilité.